Sprawdzian Z Matematyka Klasa 5 Rozkład Liczby Na Czynniki Pierwsze

Dobrze, przygotujcie się, bo zaraz przejdziemy przez rozkład liczb na czynniki pierwsze w taki sposób, że sprawdzian z klasy 5 przestanie być koszmarem, a stanie się formalnością. Skupcie się, bo wiedza, którą zaraz posiądziecie, to solidna podstawa.

Zaczynamy od definicji. Liczba pierwsza to taka liczba naturalna większa od 1, która dzieli się tylko przez 1 i samą siebie. Przykład? 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 i tak dalej. Musicie je znać. Nie wszystkie od razu na pamięć, ale im więcej zapamiętacie, tym szybciej pójdzie wam rozkładanie liczb.

Rozkład liczby na czynniki pierwsze to przedstawienie danej liczby w postaci iloczynu liczb pierwszych. I to wszystko. Brzmi prosto, prawda? No to do dzieła.

Weźmy liczbę 36. Chcemy ją rozłożyć na czynniki pierwsze. Dzielimy ją przez najmniejszą liczbę pierwszą, która ją dzieli – w tym przypadku przez 2. 36 podzielone przez 2 daje 18. Więc piszemy:

36 = 2 * 18

Teraz bierzemy 18. Znowu dzielimy przez najmniejszą liczbę pierwszą, która ją dzieli, czyli przez 2. 18 podzielone przez 2 daje 9. Więc mamy:

36 = 2 * 2 * 9

Teraz 9. Najmniejsza liczba pierwsza, która dzieli 9, to 3. 9 podzielone przez 3 daje 3. Zatem:

36 = 2 * 2 * 3 * 3

Ostatnia liczba to 3, a 3 jest liczbą pierwszą, więc już nic więcej nie musimy robić. Rozkład liczby 36 na czynniki pierwsze to 2 * 2 * 3 * 3. Możemy to zapisać krócej jako 2² * 3².

Kolejny przykład: liczba 48.

48 / 2 = 24 24 / 2 = 12 12 / 2 = 6 6 / 2 = 3 3 / 3 = 1

Więc 48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, czyli 2⁴ * 3.

Jeszcze jeden przykład, żebyście dobrze zrozumieli: liczba 75.

75 nie dzieli się przez 2 (bo nie jest parzysta). Sprawdzamy kolejną liczbę pierwszą, czyli 3. 75 dzieli się przez 3? Tak, bo 7 + 5 = 12, a 12 dzieli się przez 3. 75 podzielone przez 3 daje 25.

75 = 3 * 25

Teraz 25. Nie dzieli się przez 3. Następna liczba pierwsza to 5. 25 dzieli się przez 5? Tak. 25 podzielone przez 5 daje 5.

75 = 3 * 5 * 5

5 jest liczbą pierwszą, więc koniec. Rozkład liczby 75 na czynniki pierwsze to 3 * 5 * 5, czyli 3 * 5².

Widzicie schemat? Zaczynacie od najmniejszej liczby pierwszej i sprawdzacie, czy dzieli daną liczbę. Jeśli tak, to dzielicie. Jeśli nie, to przechodzicie do następnej liczby pierwszej. Powtarzacie ten proces, aż do momentu, kiedy zostanie wam sama liczba pierwsza.

Jak sprawnie rozkładać na czynniki pierwsze?

Kluczem jest znajomość zasad podzielności. Jeśli znacie zasady podzielności przez 2, 3, 5, 7, 11, to znacznie przyspieszycie proces.

Podzielność przez 2: Liczba jest podzielna przez 2, jeśli jest parzysta (ostatnia cyfra to 0, 2, 4, 6 lub 8).
Podzielność przez 3: Liczba jest podzielna przez 3, jeśli suma jej cyfr dzieli się przez 3.
Podzielność przez 5: Liczba jest podzielna przez 5, jeśli ostatnia cyfra to 0 lub 5.
Podzielność przez 7: To trochę trudniejsze. Odejmujemy podwojoną ostatnią cyfrę od pozostałej części liczby. Jeśli wynik dzieli się przez 7, to cała liczba dzieli się przez 7. Na przykład, dla liczby 343: 34 - (2 * 3) = 34 - 6 = 28. 28 dzieli się przez 7, więc 343 dzieli się przez 7.
Podzielność przez 11: Obliczamy różnicę sum cyfr na miejscach parzystych i nieparzystych. Jeśli wynik dzieli się przez 11 (lub jest równy 0), to cała liczba dzieli się przez 11. Na przykład, dla liczby 913: (9 + 3) - 1 = 12 - 1 = 11. 11 dzieli się przez 11, więc 913 dzieli się przez 11.

Im więcej wiecie o podzielności, tym szybciej i łatwiej pójdzie wam rozkładanie liczb.

Rozłóżmy teraz liczbę 120.

120 / 2 = 60 60 / 2 = 30 30 / 2 = 15 15 / 3 = 5 5 / 5 = 1

Więc 120 = 2 * 2 * 2 * 3 * 5, czyli 2³ * 3 * 5.

Teraz liczba 210.

210 / 2 = 105 105 / 3 = 35 35 / 5 = 7 7 / 7 = 1

Więc 210 = 2 * 3 * 5 * 7.

Widzicie, że czasami rozkład jest prosty, a czasami wymaga więcej kroków. Ważne jest, żeby robić to systematycznie i sprawdzać podzielność przez kolejne liczby pierwsze.

Co jeśli mam liczbę, która na pierwszy rzut oka nie dzieli się przez nic?

To wtedy musicie sprawdzać kolejne liczby pierwsze. Nie zrażajcie się, jeśli liczba nie dzieli się przez 2, 3, 5 czy 7. Sprawdzajcie dalej: 11, 13, 17, 19... Im większa liczba, tym więcej czasu może to zająć. Ale pamiętajcie, że każda liczba naturalna większa od 1 ma swój unikalny rozkład na czynniki pierwsze (to tzw. podstawowe twierdzenie arytmetyki).

Weźmy liczbę 91. Nie dzieli się przez 2, 3, 5. Spróbujmy z 7. 91 podzielone przez 7 daje 13. A 13 jest liczbą pierwszą.

Więc 91 = 7 * 13.

Jeszcze jeden przykład: liczba 161. Nie dzieli się przez 2, 3, 5, 7. Spróbujmy z 7 - 16 - (2*1) = 14 - wiec sie dzieli. 161 / 7 = 23.

A 23 jest liczbą pierwszą.

Więc 161 = 7 * 23.

Pamiętajcie, że sprawdzian z matematyki to nie tylko rozwiązywanie zadań, ale też prezentacja sposobu myślenia. Jeśli pokażecie, że rozumiecie, jak rozkładać liczby na czynniki pierwsze, nawet jeśli popełnicie drobny błąd rachunkowy, to nauczyciel to doceni.

Na koniec kilka wskazówek:

Zawsze zaczynajcie od najmniejszej liczby pierwszej (czyli od 2).
Sprawdzajcie podzielność przez kolejne liczby pierwsze po kolei.
Jeśli liczba jest duża, to nie zrażajcie się. Czasami trzeba sprawdzić kilka liczb pierwszych, zanim znajdziecie dzielnik.
Piszcie czytelnie i pokazujcie wszystkie kroki.
Sprawdzajcie swoje obliczenia.
Ćwiczcie, ćwiczcie, ćwiczcie! Im więcej przykładów rozwiążecie, tym szybciej i łatwiej pójdzie wam na sprawdzianie.

Teraz weźcie kartkę i długopis i spróbujcie sami rozłożyć kilka liczb na czynniki pierwsze. Na przykład: 60, 84, 100, 144, 196, 225. To najlepszy sposób, żeby utrwalić wiedzę i przygotować się do sprawdzianu. Pamiętajcie, praktyka czyni mistrza! A teraz do roboty!