Sprawdzian Z Geometrii Analitycznej Z Nowa Era

Geometria analityczna łączy algebrę z geometrią. Opisuje figury geometryczne za pomocą równań. Używa się układu współrzędnych.

Układ współrzędnych składa się z dwóch osi: osi *x* (odciętych) i osi *y* (rzędnych). Punkt jest opisany przez parę liczb (x, y). Na przykład, punkt A(2, 3) ma współrzędną x równą 2 i współrzędną y równą 3.

Odległość między dwoma punktami

Mamy dwa punkty: A(x₁, y₁) i B(x₂, y₂). Odległość między nimi obliczamy wzorem: |AB| = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) . To twierdzenie Pitagorasa w praktyce. Wyobraź sobie trójkąt prostokątny, gdzie odcinek AB jest przeciwprostokątną.

Przykład: A(1, 2), B(4, 6). |AB| = √((4 - 1)² + (6 - 2)²) = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.

Równanie prostej

Prosta może być opisana na kilka sposobów. Najpopularniejsze to postać kierunkowa i ogólna. *Postać kierunkowa*: y = ax + b, gdzie *a* to współczynnik kierunkowy, a *b* to wyraz wolny. *Postać ogólna*: Ax + By + C = 0.

Współczynnik kierunkowy *a* informuje o nachyleniu prostej. Wyraz wolny *b* to punkt przecięcia z osią *y*. Możemy przekształcać postać ogólną w kierunkową i odwrotnie.

Równanie okręgu

Okrąg o środku w punkcie S(a, b) i promieniu r ma równanie: (x - a)² + (y - b)² = r². Jeśli środek okręgu jest w początku układu współrzędnych (0, 0), to równanie upraszcza się do: x² + y² = r².

Na przykład, okrąg o środku S(2, -1) i promieniu 3 ma równanie: (x - 2)² + (y + 1)² = 9. Sprawdzian z geometrii analitycznej z Nowej Ery często zawiera zadania z okręgami.

Wektory

Wektor to odcinek mający kierunek, zwrot i długość. W układzie współrzędnych wektor jest określony przez współrzędne jego punktu końcowego po przesunięciu początku wektora do punktu (0, 0). Sumowanie wektorów polega na dodawaniu ich współrzędnych.

Jeżeli wektor *u* = [x₁, y₁] i wektor *v* = [x₂, y₂], to *u* + *v* = [x₁ + x₂, y₁ + y₂]. Iloczyn skalarny dwóch wektorów *u* i *v* to liczba u₁v₁ + u₂v₂. Iloczyn skalarny pozwala obliczyć kąt między wektorami.