Sprawdzian Funkcja I Jej Własności 2 Technikum

Rozwiązywanie zadań typu "Sprawdzian Funkcja I Jej Własności 2 Technikum" wymaga zrozumienia, czym w ogóle jest funkcja i jakie ma właściwości. Mówiąc najprościej, funkcja to przyporządkowanie, które każdemu elementowi ze zbioru wejściowego (zwanego dziedziną) przypisuje dokładnie jeden element ze zbioru wyjściowego (zwanego przeciwdziedziną lub zbiorem wartości).

Zastosowania funkcji są wszechobecne. Używamy ich w ekonomii do modelowania kosztów i zysków, w fizyce do opisywania ruchu, w informatyce do tworzenia algorytmów, a nawet w życiu codziennym, np. przeliczając waluty.

Kluczowe Właściwości Funkcji

Zanim przejdziemy do rozwiązywania zadań, powtórzmy najważniejsze właściwości funkcji:

Dziedzina (D): Zbiór wszystkich możliwych argumentów funkcji (czyli 'x', które możemy podstawić).
Zbiór Wartości (ZW): Zbiór wszystkich wartości, jakie funkcja może przyjąć (czyli wszystkie 'y', które otrzymujemy).
Miejsce Zerowe: Argument (x), dla którego wartość funkcji wynosi zero (f(x) = 0).
Monotoniczność: Określa, czy funkcja jest rosnąca, malejąca, czy stała w danym przedziale.
- Rosnąca: Jeżeli dla x1 < x2 zachodzi f(x1) < f(x2).
- Malejąca: Jeżeli dla x1 < x2 zachodzi f(x1) > f(x2).
- Stała: Jeżeli dla x1 < x2 zachodzi f(x1) = f(x2).
Ekstrema Lokalane: Maksima i minima lokalne funkcji.
Różnowartościowość: Funkcja jest różnowartościowa, jeśli dla różnych argumentów (x1 ≠ x2) przyjmuje różne wartości (f(x1) ≠ f(x2)).
Parzystość/Nieparzystość:
- Parzysta: f(-x) = f(x) (wykres symetryczny względem osi OY).
- Nieparzysta: f(-x) = -f(x) (wykres symetryczny względem początku układu współrzędnych).

Rozwiązywanie Zadań Krok po Kroku

Przejdźmy teraz do praktyki. Oto typowe zadania, z którymi możesz się spotkać na sprawdzianie i sposób ich rozwiązywania:

Przykład 1: Wyznaczanie Dziedziny Funkcji

Zadanie: Wyznacz dziedzinę funkcji f(x) = 1 / (x - 2).

Krok 1: Zidentyfikuj potencjalne problemy. W tym przypadku mamy ułamek, a mianownik nie może być równy zero.
Krok 2: Ustal warunek. x - 2 ≠ 0
Krok 3: Rozwiąż nierówność. x ≠ 2
Krok 4: Zapisz dziedzinę. D = R \ {2} (czyli wszystkie liczby rzeczywiste oprócz 2).

Kolejny przykład: f(x) = √ (x + 3)

Krok 1: Mamy pierwiastek kwadratowy, a pod pierwiastkiem musi być liczba nieujemna.
Krok 2: Ustal warunek. x + 3 ≥ 0
Krok 3: Rozwiąż nierówność. x ≥ -3
Krok 4: Zapisz dziedzinę. D = [-3, +∞)

Przykład 2: Wyznaczanie Miejsc Zerowych

Zadanie: Wyznacz miejsce zerowe funkcji f(x) = x² - 4.

Krok 1: Ustaw funkcję równą zero. x² - 4 = 0
Krok 2: Rozwiąż równanie.
- Możesz użyć wzoru na różnicę kwadratów: (x - 2)(x + 2) = 0
- Albo przenieść 4 na prawą stronę: x² = 4 => x = ±2
Krok 3: Zapisz miejsca zerowe. x1 = 2, x2 = -2

Przykład 3: Określanie Monotoniczności

Zadanie: Określ monotoniczność funkcji f(x) = 2x + 3.

Krok 1: Spójrz na współczynnik kierunkowy (a). W tym przypadku a = 2.
Krok 2: Jeżeli a > 0, funkcja jest rosnąca. Jeżeli a < 0, funkcja jest malejąca. Jeżeli a = 0, funkcja jest stała.
Krok 3: Wnioski. Ponieważ a = 2 > 0, funkcja jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.

Przykład z funkcją kwadratową. f(x) = x² - 2x + 1

Krok 1: Znajdź wierzchołek paraboli. Współrzędna x wierzchołka to x_w = -b / 2a = -(-2) / (2 * 1) = 1
Krok 2: Określ, czy parabola ma ramiona skierowane w górę (a > 0) czy w dół (a < 0). W tym przypadku a = 1 > 0, więc ramiona są skierowane w górę.
Krok 3: Wnioski. Funkcja jest malejąca w przedziale (-∞, 1] i rosnąca w przedziale [1, +∞).

Przykład 4: Badanie Parzystości/Nieparzystości

Zadanie: Sprawdź, czy funkcja f(x) = x³ jest parzysta, nieparzysta, czy żadna z tych opcji.

Krok 1: Oblicz f(-x). f(-x) = (-x)³ = -x³
Krok 2: Porównaj f(-x) z f(x) i -f(x).
- Czy f(-x) = f(x)? Nie, bo -x³ ≠ x³. Funkcja nie jest parzysta.
- Czy f(-x) = -f(x)? Tak, bo -x³ = -x³. Funkcja jest nieparzysta.
Krok 3: Wnioski. Funkcja jest nieparzysta.

Inny przykład: f(x) = x² + 1

Krok 1: Oblicz f(-x). f(-x) = (-x)² + 1 = x² + 1
Krok 2: Porównaj f(-x) z f(x). Czy f(-x) = f(x)? Tak, x² + 1 = x² + 1.
Krok 3: Wnioski. Funkcja jest parzysta.

Pamiętaj, że kluczem do sukcesu jest ćwiczenie. Im więcej zadań rozwiążesz, tym lepiej zrozumiesz właściwości funkcji i będziesz w stanie bez problemu poradzić sobie na sprawdzianie.