Sprawdz Czy Trójkat O Podanych Bokach Jest Prostokatny

Mamy trzy liczby. Powiedzmy, że to a, b i c. Chcemy wiedzieć, czy te liczby mogą reprezentować długości boków trójkąta prostokątnego. Zazwyczaj zakładamy, że c jest najdłuższą z tych liczb, ale nie zawsze musi tak być.

Najpierw sprawdźmy, czy w ogóle możemy zbudować trójkąt z tych boków. Musimy sprawdzić trzy warunki:

• a + b > c
• a + c > b
• b + c > a

Jeśli którykolwiek z tych warunków nie jest spełniony, to znaczy, że trójkąt nie może powstać. Przykładowo, jeśli a = 1, b = 2, a c = 5, to a + b = 3, co nie jest większe od c = 5. W takim przypadku nie zbudujemy trójkąta.

Załóżmy, że te warunki są spełnione. Teraz przechodzimy do sedna sprawy – sprawdzamy, czy trójkąt jest prostokątny. Tutaj wkracza twierdzenie Pitagorasa.

Twierdzenie Pitagorasa w Praktyce

Pamiętamy, że w trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości krótszych boków (przyprostokątnych) jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku (przeciwprostokątnej). Czyli, jeśli a i b są przyprostokątnymi, a c jest przeciwprostokątną, to:

a² + b² = c²

Aby sprawdzić, czy trójkąt o bokach a, b i c jest prostokątny, musimy najpierw ustalić, który bok jest potencjalną przeciwprostokątną. To ten najdłuższy. Oznaczmy go jako c (jeśli już tak nie jest, to po prostu zamieńmy oznaczenia).

Następnie obliczamy a² + b² i c². Jeśli te wartości są równe, to trójkąt jest prostokątny. Jeśli nie są równe, to trójkąt nie jest prostokątny.

Przykłady Działają Najlepiej

1. Przykład 1: Boki 3, 4, 5

   • a = 3, b = 4, c = 5
   • Sprawdzamy warunki trójkąta:
     • 3 + 4 > 5 (7 > 5) - Prawda
     • 3 + 5 > 4 (8 > 4) - Prawda
     • 4 + 5 > 3 (9 > 3) - Prawda
   • Obliczamy:
     • a² + b² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
     • c² = 5² = 25
   • a² + b² = c², więc trójkąt jest prostokątny.

2. Przykład 2: Boki 2, 3, 4

   • a = 2, b = 3, c = 4
   • Sprawdzamy warunki trójkąta:
     • 2 + 3 > 4 (5 > 4) - Prawda
     • 2 + 4 > 3 (6 > 3) - Prawda
     • 3 + 4 > 2 (7 > 2) - Prawda
   • Obliczamy:
     • a² + b² = 2² + 3² = 4 + 9 = 13
     • c² = 4² = 16
   • a² + b² ≠ c², więc trójkąt nie jest prostokątny.

3. Przykład 3: Boki 5, 12, 13

   • a = 5, b = 12, c = 13
   • Sprawdzamy warunki trójkąta:
     • 5 + 12 > 13 (17 > 13) - Prawda
     • 5 + 13 > 12 (18 > 12) - Prawda
     • 12 + 13 > 5 (25 > 5) - Prawda
   • Obliczamy:
     • a² + b² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169
     • c² = 13² = 169
   • a² + b² = c², więc trójkąt jest prostokątny.

4. Przykład 4: Boki 1, 1, √2

   • a = 1, b = 1, c = √2 (około 1.41)
   • Sprawdzamy warunki trójkąta:
     • 1 + 1 > √2 (2 > 1.41) - Prawda
     • 1 + √2 > 1 (2.41 > 1) - Prawda
     • 1 + √2 > 1 (2.41 > 1) - Prawda
   • Obliczamy:
     • a² + b² = 1² + 1² = 1 + 1 = 2
     • c² = (√2)² = 2
   • a² + b² = c², więc trójkąt jest prostokątny.

5. Przykład 5: Boki 7, 24, 25

   • a = 7, b = 24, c = 25
   • Sprawdzamy warunki trójkąta:
     • 7 + 24 > 25 (31 > 25) - Prawda
     • 7 + 25 > 24 (32 > 24) - Prawda
     • 24 + 25 > 7 (49 > 7) - Prawda
   • Obliczamy:
     • a² + b² = 7² + 24² = 49 + 576 = 625
     • c² = 25² = 625
   • a² + b² = c², więc trójkąt jest prostokątny.

Co, Jeśli Kolejność Boków Jest Inna?

Jeśli nie wiemy, który bok jest najdłuższy, musimy sprawdzić wszystkie trzy możliwości. Załóżmy, że mamy boki x, y i z. Wtedy sprawdzamy:

• Czy x² + y² = z²
• Czy x² + z² = y²
• Czy y² + z² = x²

Jeśli któraś z tych równości jest prawdziwa, to trójkąt jest prostokątny.

Uważaj na Błędy Zaokrągleń

Podczas obliczeń z liczbami zmiennoprzecinkowymi (np. z pierwiastkami) mogą wystąpić błędy zaokrągleń. Dlatego zamiast sprawdzać dokładną równość a² + b² = c², możemy sprawdzać, czy różnica między tymi wartościami jest "wystarczająco mała". Na przykład:

abs((a² + b²) - c²) < epsilon

gdzie epsilon jest małą liczbą (np. 0.00001). Pozwala to uwzględnić niewielkie odchylenia spowodowane błędami zaokrągleń.

Podsumowanie

Aby sprawdzić, czy trójkąt o podanych bokach jest prostokątny:

1. Upewnij się, że z tych boków w ogóle można zbudować trójkąt.
2. Znajdź najdłuższy bok (potencjalną przeciwprostokątną).
3. Oblicz sumę kwadratów dwóch krótszych boków oraz kwadrat najdłuższego boku.
4. Porównaj te wartości. Jeśli są równe (lub "wystarczająco bliskie" z powodu błędów zaokrągleń), to trójkąt jest prostokątny. W przeciwnym razie nie jest.
5. Jeżeli nie wiadomo który bok jest najdłuższy, należy sprawdzić wszystkie kombinacje.