Skracaj Ułamki Dopóki Nie Otrzymasz Ułamka Nieskracalnego

Zacznijmy od tego, czym jest ułamek. Ułamek składa się z licznika (liczby na górze) i mianownika (liczby na dole), oddzielonych kreską ułamkową. Na przykład, w ułamku 3/4, 3 jest licznikiem, a 4 jest mianownikiem.

Chodzi o to, żeby uprościć ułamek do jego najprostszej postaci. Co to znaczy? To znaczy, że licznik i mianownik nie mają już żadnych wspólnych dzielników poza 1. Innymi słowy, nie da się już podzielić licznika i mianownika przez tę samą liczbę, żeby otrzymać liczby całkowite.

Weźmy na przykład ułamek 6/8. Czy można go uprościć? Tak! Zarówno 6, jak i 8 są podzielne przez 2. Podzielmy więc licznik i mianownik przez 2:

6 / 2 = 3 8 / 2 = 4

Otrzymaliśmy ułamek 3/4. Czy to już ułamek nieskracalny? Tak. Liczby 3 i 4 nie mają wspólnych dzielników poza 1. Nie możemy ich już dalej podzielić przez tę samą liczbę, żeby otrzymać liczby całkowite. Zatem 3/4 to ułamek nieskracalny, a 6/8 uproszczone do postaci 3/4.

Rozważmy teraz ułamek 12/18. Czy da się go uprościć? Owszem. Zarówno 12, jak i 18 są podzielne przez 2. Podzielmy więc:

12 / 2 = 6 18 / 2 = 9

Otrzymaliśmy ułamek 6/9. Czy to już koniec? Nie! Zauważmy, że zarówno 6, jak i 9 są podzielne przez 3. Podzielmy więc jeszcze raz:

6 / 3 = 2 9 / 3 = 3

Otrzymaliśmy ułamek 2/3. Teraz już nie da się go uprościć. 2 i 3 nie mają wspólnych dzielników poza 1. Zatem 2/3 to ułamek nieskracalny, a 12/18 uproszczone do postaci 2/3.

Kluczowe jest szukanie wspólnych dzielników. Można zacząć od najmniejszych liczb pierwszych, czyli 2, 3, 5, 7, 11… i sprawdzać, czy licznik i mianownik są przez nie podzielne. Jeśli tak, to dzielimy. Jeśli nie, przechodzimy do kolejnej liczby pierwszej.

Przykłady krok po kroku

Spójrzmy na ułamek 24/36.

Czy 24 i 36 są podzielne przez 2? Tak.

24 / 2 = 12 36 / 2 = 18

Mamy teraz ułamek 12/18.
Czy 12 i 18 są podzielne przez 2? Tak.

12 / 2 = 6 18 / 2 = 9

Mamy teraz ułamek 6/9.
Czy 6 i 9 są podzielne przez 2? Nie.
Czy 6 i 9 są podzielne przez 3? Tak.

6 / 3 = 2 9 / 3 = 3

Mamy teraz ułamek 2/3.
Czy 2 i 3 mają wspólne dzielniki poza 1? Nie.

Zatem 2/3 to ułamek nieskracalny, a 24/36 uproszczone do postaci 2/3.

A co z ułamkiem 45/75?

Czy 45 i 75 są podzielne przez 2? Nie.
Czy 45 i 75 są podzielne przez 3? Tak, 45 jest podzielne przez 3, ale 75 nie jest oczywiste. Sprawdźmy sumę cyfr: 7+5=12, a 12 jest podzielne przez 3, więc 75 również.

45 / 3 = 15 75 / 3 = 25

Mamy teraz ułamek 15/25.
Czy 15 i 25 są podzielne przez 3? Tak, 15 jest, ale 25 nie.
Czy 15 i 25 są podzielne przez 5? Tak.

15 / 5 = 3 25 / 5 = 5

Mamy teraz ułamek 3/5.
Czy 3 i 5 mają wspólne dzielniki poza 1? Nie.

Zatem 3/5 to ułamek nieskracalny, a 45/75 uproszczone do postaci 3/5.

Inny przykład: 16/24.

Czy 16 i 24 są podzielne przez 2? Tak.

16 / 2 = 8 24 / 2 = 12

Otrzymujemy 8/12.
Czy 8 i 12 są podzielne przez 2? Tak.

8 / 2 = 4 12 / 2 = 6

Otrzymujemy 4/6.
Czy 4 i 6 są podzielne przez 2? Tak.

4 / 2 = 2 6 / 2 = 3

Otrzymujemy 2/3.
Czy 2 i 3 mają wspólne dzielniki poza 1? Nie.

Zatem 2/3 to ułamek nieskracalny, a 16/24 uproszczone do postaci 2/3.

Można też to zrobić szybciej, szukając od razu największego wspólnego dzielnika (NWD). W przypadku 16 i 24, NWD to 8. Dzieląc licznik i mianownik przez 8, od razu otrzymujemy 2/3. Ale jeśli nie widzimy od razu NWD, to możemy robić to krok po kroku, dzieląc przez mniejsze liczby pierwsze.

Jeszcze jeden przykład: 36/48.

Czy 36 i 48 są podzielne przez 2? Tak. 36 / 2 = 18 48 / 2 = 24
Czy 18 i 24 są podzielne przez 2? Tak. 18 / 2 = 9 24 / 2 = 12
Czy 9 i 12 są podzielne przez 2? Nie.
Czy 9 i 12 są podzielne przez 3? Tak. 9 / 3 = 3 12 / 3 = 4

Otrzymujemy 3/4.

Zatem 3/4 to ułamek nieskracalny, a 36/48 uproszczone do postaci 3/4.

Zauważ, że kolejność dzielenia nie ma znaczenia, o ile dzielisz licznik i mianownik przez tę samą liczbę. Ważne jest, żeby robić to systematycznie, aż do uzyskania ułamka nieskracalnego.

Praktyka czyni mistrza! Im więcej ćwiczysz, tym szybciej będziesz w stanie znajdować wspólne dzielniki i upraszczać ułamki.

Trudniejsze przypadki

Czasami liczby w ułamku są większe i trudniej od razu znaleźć wspólny dzielnik. W takich przypadkach pomocne może być rozłożenie licznika i mianownika na czynniki pierwsze.

Weźmy ułamek 120/180.

Rozkładamy 120 na czynniki pierwsze: 120 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 2³ x 3 x 5 Rozkładamy 180 na czynniki pierwsze: 180 = 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = 2² x 3² x 5

Teraz możemy zobaczyć, jakie czynniki się powtarzają:

2 powtarza się co najmniej dwa razy.
3 powtarza się co najmniej raz.
5 powtarza się co najmniej raz.

Zatem możemy podzielić licznik i mianownik przez 2² x 3 x 5 = 4 x 3 x 5 = 60.

120 / 60 = 2 180 / 60 = 3

Otrzymujemy ułamek 2/3. To ułamek nieskracalny.

Inny przykład: 210/315

Rozkładamy 210 na czynniki pierwsze: 210 = 2 x 3 x 5 x 7 Rozkładamy 315 na czynniki pierwsze: 315 = 3 x 3 x 5 x 7 = 3² x 5 x 7

Wspólne czynniki to: 3, 5 i 7.

Zatem dzielimy przez 3 x 5 x 7 = 105

210 / 105 = 2 315 / 105 = 3

Otrzymujemy ułamek 2/3.

Rozkład na czynniki pierwsze może być czasochłonny, ale jest to niezawodny sposób na znalezienie największego wspólnego dzielnika, zwłaszcza gdy mamy do czynienia z dużymi liczbami. Pamiętaj, że celem jest uproszczenie ułamka do postaci, w której licznik i mianownik nie mają już żadnych wspólnych dzielników poza 1. Powodzenia!