Rzucamy Dwa Razy Symetryczną Sześcienną Kostką Do Gry Oblicz Prawdopodobieństwo

Dobrze, moi drodzy studenci, przejdźmy do sedna problemu rzutu dwiema symetrycznymi, sześciennymi kostkami do gry i obliczania prawdopodobieństwa. Jak wiecie, ta kwestia pojawia się regularnie na egzaminach i warto ją dogłębnie zrozumieć.

Zacznijmy od absolutnych podstaw. Mamy dwie identyczne kostki. Każda z nich ma sześć ścian, a na każdej ścianie znajduje się odpowiednio od 1 do 6 oczek. Kostki są symetryczne, co oznacza, że szansa na wyrzucenie każdej liczby oczek jest dokładnie taka sama i wynosi 1/6. Rzucamy tymi kostkami dwukrotnie. Chcemy obliczyć pewne prawdopodobieństwo, które, jak rozumiem, jest przedmiotem waszych pytań. Pytanie jest, jakie to prawdopodobieństwo? Musimy precyzyjnie zdefiniować, co dokładnie chcemy obliczyć, aby udzielić wam wyczerpującej odpowiedzi.

Załóżmy na potrzeby dalszej analizy, że naszym celem jest obliczenie prawdopodobieństwa, że suma oczek wyrzuconych w obu rzutach będzie wynosić konkretną wartość. Nazwijmy tę wartość "S". Zatem, naszym zadaniem jest wyznaczenie P(Suma = S).

Jak to zrobić systematycznie? Po pierwsze, musimy określić przestrzeń zdarzeń elementarnych. Zastanówmy się, co to tak naprawdę znaczy "rzucamy dwiema kostkami dwukrotnie".

Pierwszy rzut dwiema kostkami daje nam wynik (x, y), gdzie x to wynik na pierwszej kostce, a y to wynik na drugiej kostce. Zatem x może przyjmować wartości od 1 do 6, a y również od 1 do 6. To daje nam 6 * 6 = 36 możliwych wyników w pierwszym rzucie.

Drugi rzut dwiema kostkami również daje nam wynik (a, b), gdzie a to wynik na pierwszej kostce, a b to wynik na drugiej kostce. Podobnie jak poprzednio, a i b mogą przyjmować wartości od 1 do 6, dając nam kolejne 36 możliwych wyników.

Zatem przestrzeń zdarzeń elementarnych składa się z wszystkich możliwych par ( (x, y), (a, b) ), gdzie x, y, a, b należą do zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Liczba wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych wynosi 36 * 36 = 1296.

Teraz możemy przejść do sedna problemu. Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo, że suma oczek w obu rzutach (czyli x + y + a + b) wynosi S. Innymi słowy, chcemy znaleźć liczbę zdarzeń elementarnych, w których x + y + a + b = S, a następnie podzielić tę liczbę przez 1296 (całkowitą liczbę zdarzeń elementarnych).

Jak to zrobić efektywnie? Możemy iterować po wszystkich możliwych wartościach x i y (czyli po wszystkich wynikach pierwszego rzutu) i dla każdej pary (x, y) sprawdzać, ile par (a, b) spełnia warunek a + b = S - (x + y).

Załóżmy, że x + y = K. Wtedy szukamy liczby par (a, b) takich, że a + b = S - K.

Wiemy, że a i b muszą być liczbami całkowitymi z przedziału [1, 6]. Zatem minimalna wartość a + b to 2, a maksymalna to 12. Oznacza to, że S - K również musi leżeć w tym przedziale. Czyli 2 <= S - K <= 12.

Ile jest par (a, b) takich, że a + b = S - K? Nazwijmy S - K = T. Chcemy znaleźć liczbę par (a, b) takich, że a + b = T i 1 <= a <= 6 i 1 <= b <= 6.

• Jeśli T < 2 lub T > 12, to nie ma żadnych takich par.
• Jeśli 2 <= T <= 7, to liczba takich par wynosi T - 1. (np. jeśli T = 2, to jest tylko jedna para (1, 1); jeśli T = 3, to są dwie pary (1, 2) i (2, 1); jeśli T = 7, to są pary (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1), czyli 6 par).
• Jeśli 7 < T <= 12, to liczba takich par wynosi 13 - T. (np. jeśli T = 8, to są pary (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2), czyli 5 par; jeśli T = 12, to jest tylko jedna para (6, 6)).

Teraz możemy napisać algorytm:

1. Dla każdej pary (x, y) z przedziału [1, 6] x [1, 6]:
2. Oblicz K = x + y.
3. Oblicz T = S - K.
4. Jeśli T < 2 lub T > 12, to liczba_par = 0.
5. W przeciwnym razie, jeśli 2 <= T <= 7, to liczba_par = T - 1.
6. W przeciwnym razie, liczba_par = 13 - T.
7. Dodaj liczba_par do sumy_par.
8. Prawdopodobieństwo = suma_par / 1296.

Przykład:

Załóżmy, że chcemy obliczyć prawdopodobieństwo, że suma oczek w obu rzutach wynosi S = 10.

1. Iterujemy po wszystkich parach (x, y):
   • (1, 1): K = 2, T = 8, liczba_par = 13 - 8 = 5
   • (1, 2): K = 3, T = 7, liczba_par = 7 - 1 = 6
   • (1, 3): K = 4, T = 6, liczba_par = 6 - 1 = 5
   • (1, 4): K = 5, T = 5, liczba_par = 5 - 1 = 4
   • (1, 5): K = 6, T = 4, liczba_par = 4 - 1 = 3
   • (1, 6): K = 7, T = 3, liczba_par = 3 - 1 = 2
   • (2, 1): K = 3, T = 7, liczba_par = 6
   • (2, 2): K = 4, T = 6, liczba_par = 5
   • ... (itd. dla wszystkich 36 par)

Po przeiterowaniu po wszystkich parach i zsumowaniu liczba_par, otrzymamy suma_par = 81.

Zatem prawdopodobieństwo, że suma oczek w obu rzutach wynosi 10, wynosi 81 / 1296 = 1 / 16.

Alternatywne podejście - bardziej elementarne

Zamiast rozpatrywać rzuty dwiema kostkami dwukrotnie, możemy rozpatrywać to jako cztery niezależne rzuty pojedynczą kostką. Zatem przestrzeń zdarzeń elementarnych składa się z wszystkich czwórek (x, y, a, b), gdzie x, y, a, b należą do zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Liczba wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych nadal wynosi 6 * 6 * 6 * 6 = 1296.

Podejście jest identyczne. Nadal szukamy liczby czwórek (x, y, a, b) takich, że x + y + a + b = S. Możemy użyć tej samej logiki i algorytmu, co poprzednio.

To wszystko, moi drodzy. Mam nadzieję, że teraz wszystko jest jasne. Jeśli macie więcej pytań, pytajcie śmiało.