Rzucamy Dwa Razy Symetryczną Sześcienną Kostką Do Gry

Okej, spróbujmy to rozłożyć na czynniki pierwsze. Zadanie brzmi: rzucamy dwa razy uczciwą, sześcienną kostką do gry. Czyli taką, która ma sześć ścianek oznaczonych cyframi od 1 do 6, i każda ścianka ma taką samą szansę, żeby wypaść.

Najpierw pomyślmy, co się może wydarzyć. Przy pierwszym rzucie możemy dostać jedną z sześciu możliwości: 1, 2, 3, 4, 5 albo 6. Przy drugim rzucie, niezależnie od tego, co wypadło za pierwszym razem, znowu mamy sześć możliwości: 1, 2, 3, 4, 5 albo 6.

To znaczy, że żeby zobaczyć wszystkie możliwe wyniki, możemy sobie wyobrazić taką siatkę. W pierwszym wierszu mamy wyniki pierwszego rzutu (1, 2, 3, 4, 5, 6). A w pierwszej kolumnie mamy wyniki drugiego rzutu (1, 2, 3, 4, 5, 6). Każde przecięcie wiersza i kolumny daje nam jedną parę liczb, czyli jeden możliwy wynik dwóch rzutów.

Na przykład, para (1, 1) oznacza, że w pierwszym rzucie wypadła jedynka, a w drugim rzucie też wypadła jedynka. Para (3, 5) oznacza, że w pierwszym rzucie wypadła trójka, a w drugim rzucie piątka. I tak dalej.

Ile jest wszystkich takich par? Skoro mamy 6 możliwości dla pierwszego rzutu i 6 możliwości dla drugiego rzutu, to wszystkich par (czyli wszystkich możliwych wyników) jest 6 pomnożone przez 6, co daje 36.

Czyli przestrzeń zdarzeń elementarnych, czyli zbiór wszystkich możliwych wyników, ma 36 elementów. Każdy z tych wyników (czyli każda para liczb) jest równie prawdopodobny, bo kostka jest uczciwa.

Teraz, w zależności od pytania, możemy liczyć różne prawdopodobieństwa. Na przykład, jakie jest prawdopodobieństwo, że suma oczek w obu rzutach wyniesie 7?

Musimy sprawdzić, które pary liczb dają sumę 7. Są to: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2) i (6, 1). Jest 6 takich par.

Skoro wszystkich możliwych wyników jest 36, a sprzyjających nam wyników (czyli tych, w których suma oczek wynosi 7) jest 6, to prawdopodobieństwo, że suma oczek wyniesie 7, wynosi 6/36, co po skróceniu daje 1/6.

Albo inne pytanie: Jakie jest prawdopodobieństwo, że w obu rzutach wypadnie ta sama liczba oczek?

Pary, które spełniają ten warunek, to: (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5) i (6, 6). Znowu mamy 6 takich par. Czyli prawdopodobieństwo, że w obu rzutach wypadnie ta sama liczba oczek, wynosi 6/36, czyli 1/6.

Inny przykład: jakie jest prawdopodobieństwo, że w pierwszym rzucie wypadnie liczba większa niż 4, a w drugim rzucie liczba mniejsza niż 3?

W pierwszym rzucie liczba większa niż 4 to 5 albo 6. Czyli mamy dwie możliwości. W drugim rzucie liczba mniejsza niż 3 to 1 albo 2. Też mamy dwie możliwości.

Pary, które spełniają ten warunek, to: (5, 1), (5, 2), (6, 1) i (6, 2). Są 4 takie pary. Czyli prawdopodobieństwo wynosi 4/36, co po skróceniu daje 1/9.

Możemy mieć bardziej skomplikowane pytania. Na przykład: jakie jest prawdopodobieństwo, że suma oczek będzie parzysta?

Suma dwóch liczb jest parzysta, jeśli obie liczby są parzyste, albo obie liczby są nieparzyste.

Parzyste liczby na kostce to 2, 4 i 6. Nieparzyste liczby to 1, 3 i 5.

Pary, w których obie liczby są parzyste, to: (2, 2), (2, 4), (2, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (6, 2), (6, 4), (6, 6). Jest 9 takich par.

Pary, w których obie liczby są nieparzyste, to: (1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (5, 1), (5, 3), (5, 5). Też jest 9 takich par.

Razem mamy 9 + 9 = 18 par, w których suma oczek jest parzysta. Czyli prawdopodobieństwo wynosi 18/36, co po skróceniu daje 1/2. Ma to sens, bo "na czuja" połowa wyników powinna dawać sumę parzystą, a połowa nieparzystą.

Albo inne pytanie: jakie jest prawdopodobieństwo, że przynajmniej raz wypadnie szóstka?

Możemy to zrobić na dwa sposoby. Pierwszy sposób to wypisanie wszystkich par, w których przynajmniej raz występuje szóstka: (1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5). Jest 11 takich par. Czyli prawdopodobieństwo wynosi 11/36.

Drugi sposób to policzenie prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego, czyli że ani razu nie wypadnie szóstka. Jeśli ani razu nie wypadła szóstka, to w każdym rzucie musiała wypaść jedna z pięciu pozostałych liczb (1, 2, 3, 4, 5).

Liczba par, w których ani razu nie występuje szóstka, to 5 pomnożone przez 5, czyli 25. Prawdopodobieństwo, że ani razu nie wypadnie szóstka, wynosi 25/36.

Skoro prawdopodobieństwo, że ani razu nie wypadnie szóstka, wynosi 25/36, to prawdopodobieństwo, że przynajmniej raz wypadnie szóstka, wynosi 1 minus 25/36, co daje 11/36. Czyli zgadza się z pierwszym sposobem!

Podsumowując, rzucanie dwa razy kostką to przykład, gdzie mamy do czynienia z 36 równo prawdopodobnymi wynikami. Kluczem do rozwiązywania zadań jest zdefiniowanie przestrzeni zdarzeń elementarnych (czyli wszystkich możliwych wyników) i następnie policzenie, ile z tych wyników spełnia warunki zadania. Potem wystarczy podzielić liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich wyników, żeby dostać prawdopodobieństwo. Często warto rozważyć użycie zdarzenia przeciwnego, jeśli łatwiej jest policzyć jego prawdopodobieństwo. I zawsze warto sprawdzić, czy wynik "ma sens" - czy jest liczbą między 0 a 1, i czy odpowiada naszej intuicji.