Rozwinięcia Dziesiętne Liczb Wymiernych Klasa 7 Pdf

Witajcie, drodzy uczniowie klasy 7! Dzisiaj zanurzymy się w fascynujący świat rozwinięć dziesiętnych liczb wymiernych. Temat ten jest niezwykle ważny, ponieważ pomaga zrozumieć, jak reprezentujemy liczby w życiu codziennym i jak wykonujemy na nich operacje. Przygotujcie się na podróż pełną definicji, przykładów i ciekawych zastosowań!

Zacznijmy od podstaw: czym właściwie jest liczba wymierna?

Liczba wymierna to każda liczba, którą można zapisać w postaci ułamka zwykłego, czyli jako iloraz dwóch liczb całkowitych: p/q, gdzie p jest liczbą całkowitą (może być dodatnia, ujemna lub zerowa), a q jest liczbą całkowitą różną od zera (q ≠ 0).

Przykłady liczb wymiernych:

• 1/2
• 3/4
• -5/7
• 2 (bo możemy zapisać jako 2/1)
• 0 (bo możemy zapisać jako 0/1)
• -3 (bo możemy zapisać jako -3/1)

Rozwinięcie dziesiętne to sposób zapisu liczby za pomocą cyfr od 0 do 9, oddzielonych przecinkiem. Na przykład: 3,14 to rozwinięcie dziesiętne. Ale jak to się ma do liczb wymiernych? Otóż, każdą liczbę wymierną możemy przedstawić w postaci rozwinięcia dziesiętnego!

Istnieją dwa rodzaje rozwinięć dziesiętnych liczb wymiernych:

1. Rozwinięcie dziesiętne skończone: To takie rozwinięcie, które ma skończoną liczbę cyfr po przecinku. Na przykład: 1/2 = 0,5; 3/4 = 0,75; 5/8 = 0,625. Aby zamienić ułamek zwykły na rozwinięcie dziesiętne skończone, dzielimy licznik przez mianownik. Jeśli w wyniku dzielenia otrzymamy resztę równą zero, to mamy do czynienia z rozwinięciem skończonym.
2. Rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe: To takie rozwinięcie, w którym po przecinku występuje powtarzający się fragment cyfr (zwany okresem). Na przykład: 1/3 = 0,3333... (okresem jest cyfra 3); 2/11 = 0,181818... (okresem jest para cyfr 18); 5/6 = 0,83333... (okresem jest cyfra 3, ale występuje dopiero po cyfrze 8). Aby zamienić ułamek zwykły na rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe, dzielimy licznik przez mianownik. Jeśli w wyniku dzielenia nigdy nie otrzymamy reszty równej zero, ale zaczniemy otrzymywać powtarzające się reszty, to mamy do czynienia z rozwinięciem okresowym.

Zwróć uwagę, że każda liczba wymierna ma rozwinięcie skończone lub okresowe. Oznacza to, że jeśli liczba ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone nieokresowe (np. 3,14159265...), to nie jest liczbą wymierną. Takie liczby nazywamy liczbami niewymiernymi.

Jak zamienić ułamek zwykły na rozwinięcie dziesiętne?

Najprostszym sposobem jest po prostu podzielenie licznika przez mianownik. Możemy użyć do tego kalkulatora lub wykonać dzielenie pisemne.

• Przykład 1: Zamień 3/8 na rozwinięcie dziesiętne. Dzielimy 3 przez 8. Wynik to 0,375. Rozwinięcie jest skończone.
• Przykład 2: Zamień 1/7 na rozwinięcie dziesiętne. Dzielimy 1 przez 7. Wynik to 0,142857142857... Widzimy, że fragment "142857" się powtarza. Zatem 1/7 = 0,(142857). Rozwinięcie jest nieskończone okresowe.

Jak zamienić rozwinięcie dziesiętne skończone na ułamek zwykły?

To bardzo proste! Zapisujemy liczbę bez przecinka jako licznik ułamka. W mianowniku umieszczamy 1, a następnie dopisujemy tyle zer, ile było cyfr po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym. Na koniec, jeśli to możliwe, skracamy ułamek.

• Przykład 1: Zamień 0,25 na ułamek zwykły. Zapisujemy 25/100. Skracamy ułamek przez 25. Otrzymujemy 1/4.
• Przykład 2: Zamień 1,7 na ułamek zwykły. Zapisujemy 17/10. Ułamek jest już nieskracalny.

Jak zamienić rozwinięcie dziesiętne okresowe na ułamek zwykły?

To jest nieco bardziej skomplikowane, ale spokojnie, poradzimy sobie! Oto kroki:

1. Oznaczmy naszą liczbę jako x.
2. Pomnóżmy x przez 10, 100, 1000 itd. (czyli 10 do potęgi n, gdzie n to długość okresu), aby przesunąć przecinek tak, aby po przecinku zaczął się ten sam okres, co w pierwotnej liczbie.
3. Odejmijmy od liczby otrzymanej w kroku 2 liczbę x (czyli pierwotną liczbę). Okresy się odejmą!
4. Rozwiążmy równanie, aby znaleźć x.

• Przykład 1: Zamień 0,(3) na ułamek zwykły.

  1. x = 0,(3) = 0,3333...
  2. 10x = 3,3333...
  3. 10x - x = 3,3333... - 0,3333... czyli 9x = 3
  4. x = 3/9 = 1/3

• Przykład 2: Zamień 0,(18) na ułamek zwykły.

  1. x = 0,(18) = 0,181818...
  2. 100x = 18,181818...
  3. 100x - x = 18,181818... - 0,181818... czyli 99x = 18
  4. x = 18/99 = 2/11

• Przykład 3: Zamień 0,8(3) na ułamek zwykły. (Tutaj mamy cyfrę nieokresową przed okresem).

  1. x = 0,8(3) = 0,83333...
  2. 10x = 8,3333...
  3. 100x = 83,3333...
  4. 100x - 10x = 83,3333... - 8,3333... czyli 90x = 75
  5. x = 75/90 = 5/6

Zastosowania praktyczne

Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych mają szerokie zastosowanie w życiu codziennym, m.in.:

• Finanse: Obliczanie procentów, podatków, marż handlowych.
• Pomiary: Wyrażanie długości, wagi, objętości.
• Technika: Projektowanie maszyn, budynków, mostów.
• Informatyka: Reprezentacja liczb w komputerach, programowanie.
• Gotowanie: Odmierzanie składników w przepisach.

Mam nadzieję, że ten artykuł pomógł Wam lepiej zrozumieć rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych. Pamiętajcie, ćwiczenie czyni mistrza! Rozwiązujcie zadania, eksperymentujcie i odkrywajcie piękno matematyki. Powodzenia!