Rozwiąż Nierówności Zaznacz Na Osi Liczbowej Zbiór Rozwiązań

Rozwiązywanie nierówności i zaznaczanie zbioru rozwiązań na osi liczbowej to fundament matematyki, otwierający drzwi do bardziej zaawansowanych zagadnień. Zrozumienie tego procesu pozwala na skuteczne modelowanie i rozwiązywanie problemów z różnych dziedzin.

Nierówności, w przeciwieństwie do równań, nie wskazują na konkretną wartość, lecz na zakres liczb spełniających dane kryterium. Symbolami nierówności są: < (mniejsze niż), > (większe niż), ≤ (mniejsze lub równe) oraz ≥ (większe lub równe). Kluczowe jest, aby operacje wykonywane na nierównościach zachowywały jej prawdziwość.

Zacznijmy od prostych przykładów.

Nierówność liniowa:

Rozważmy nierówność: 2x + 3 < 7

Odejmujemy 3 od obu stron: 2x < 4

Dzielimy obie strony przez 2: x < 2

Zbiór rozwiązań to wszystkie liczby mniejsze od 2. Na osi liczbowej rysujemy otwarte kółko na liczbie 2 i zaznaczamy wszystko na lewo od niej. Otwarte kółko oznacza, że 2 nie należy do zbioru rozwiązań. Zbiór rozwiązań można zapisać jako przedział: (-∞, 2).

Nierówność z wartością bezwzględną:

Przykład: |x - 1| ≤ 3

Rozważamy dwa przypadki:

Przypadek 1: x - 1 ≤ 3

Dodajemy 1 do obu stron: x ≤ 4

Przypadek 2: -(x - 1) ≤ 3

Mnożymy obie strony przez -1 (pamiętamy o zmianie znaku nierówności): x - 1 ≥ -3

Dodajemy 1 do obu stron: x ≥ -2

Zbiór rozwiązań to wszystkie liczby większe lub równe -2 i mniejsze lub równe 4. Na osi liczbowej rysujemy zamknięte kółka na liczbach -2 i 4 i zaznaczamy wszystko pomiędzy nimi. Zamknięte kółko oznacza, że -2 i 4 należą do zbioru rozwiązań. Zbiór rozwiązań można zapisać jako przedział: [-2, 4].

Nierówność kwadratowa:

Przykład: x² - 5x + 6 > 0

Znajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego: x² - 5x + 6 = 0

(x - 2)(x - 3) = 0

Pierwiastki to x = 2 i x = 3.

Rysujemy parabolę z ramionami skierowanymi do góry (ponieważ współczynnik przy x² jest dodatni) przecinającą oś x w punktach 2 i 3.

Nierówność x² - 5x + 6 > 0 jest spełniona dla wartości x, dla których parabola znajduje się nad osią x. Oznacza to, że rozwiązaniem są przedziały: (-∞, 2) oraz (3, +∞).

Na osi liczbowej rysujemy otwarte kółka na liczbach 2 i 3 i zaznaczamy wszystko na lewo od 2 i na prawo od 3.

Nierówność wymierna:

Przykład: (x + 1) / (x - 2) ≥ 0

Znajdujemy miejsca zerowe licznika i mianownika:

Licznik: x + 1 = 0 => x = -1

Mianownik: x - 2 = 0 => x = 2

Rysujemy oś liczbową i zaznaczamy punkty -1 i 2. Punkt 2 nie należy do zbioru rozwiązań (bo mianownik nie może być równy zero).

Sprawdzamy znak wyrażenia (x + 1) / (x - 2) w przedziałach:

• (-∞, -1): Wybieramy np. x = -2. ((-2) + 1) / ((-2) - 2) = (-1) / (-4) = 1/4 > 0 (dodatnie)
• (-1, 2): Wybieramy np. x = 0. (0 + 1) / (0 - 2) = 1 / (-2) = -1/2 < 0 (ujemne)
• (2, +∞): Wybieramy np. x = 3. (3 + 1) / (3 - 2) = 4 / 1 = 4 > 0 (dodatnie)

Nierówność (x + 1) / (x - 2) ≥ 0 jest spełniona dla przedziałów, w których wyrażenie jest dodatnie lub równe zero. Oznacza to, że rozwiązaniem są przedziały: (-∞, -1] oraz (2, +∞).

Na osi liczbowej rysujemy zamknięte kółko na liczbie -1 i otwarte kółko na liczbie 2. Zaznaczamy wszystko na lewo od -1 oraz wszystko na prawo od 2.

Rozwiązywanie bardziej skomplikowanych nierówności

Nierówności mogą być znacznie bardziej skomplikowane, obejmując funkcje trygonometryczne, wykładnicze, logarytmiczne. W takich przypadkach kluczowe jest zrozumienie własności tych funkcji i umiejętność ich wykorzystania do uproszczenia nierówności.

Nierówność trygonometryczna:

Przykład: sin(x) > 1/2 dla x ∈ [0, 2π]

Rysujemy wykres funkcji sin(x) w przedziale [0, 2π] i zaznaczamy linię y = 1/2.

Szukamy punktów przecięcia sin(x) z linią y = 1/2. sin(x) = 1/2 dla x = π/6 i x = 5π/6.

Nierówność sin(x) > 1/2 jest spełniona dla x ∈ (π/6, 5π/6).

Na osi liczbowej (w tym przypadku osi kątów) rysujemy otwarte kółka na π/6 i 5π/6 i zaznaczamy wszystko pomiędzy nimi.

Nierówność logarytmiczna:

Przykład: log₂(x - 1) < 3

Korzystamy z definicji logarytmu: x - 1 < 2³

x - 1 < 8

Dodajemy 1 do obu stron: x < 9

Pamiętamy o dziedzinie logarytmu: x - 1 > 0 => x > 1

Zatem zbiór rozwiązań to 1 < x < 9, czyli x ∈ (1, 9).

Na osi liczbowej rysujemy otwarte kółka na 1 i 9 i zaznaczamy wszystko pomiędzy nimi.

Nierówność wykładnicza:

Przykład: 3^(x+1) ≥ 9

Zapisujemy 9 jako potęgę 3: 3^(x+1) ≥ 3²

Ponieważ funkcja wykładnicza o podstawie większej niż 1 jest rosnąca, możemy porównać wykładniki: x + 1 ≥ 2

Odejmujemy 1 od obu stron: x ≥ 1

Zbiór rozwiązań to x ∈ [1, +∞).

Na osi liczbowej rysujemy zamknięte kółko na 1 i zaznaczamy wszystko na prawo od niej.

Pamiętajmy, że rozwiązując nierówności, istotne jest uwzględnienie dziedziny funkcji, szczególnie w przypadku nierówności zawierających logarytmy, pierwiastki lub wyrażenia wymierne. Błędne określenie dziedziny może prowadzić do nieprawidłowych rozwiązań.

Zaznaczanie zbioru rozwiązań na osi liczbowej - podsumowanie

Zaznaczanie zbioru rozwiązań na osi liczbowej to graficzne przedstawienie wszystkich liczb, które spełniają daną nierówność. Używamy otwartych kółek (dla nierówności < i >) oraz zamkniętych kółek (dla nierówności ≤ i ≥) do wskazania, czy punkt graniczny należy do zbioru rozwiązań, czy nie. Przedziały zaznaczamy poprzez pogrubienie odpowiedniego fragmentu osi. Ważne jest, aby precyzyjnie zaznaczać punkty graniczne i kierunek, w którym rozciąga się zbiór rozwiązań.

W przypadku bardziej złożonych nierówności, takich jak nierówności kwadratowe lub wymierne, analiza znaku wyrażenia w poszczególnych przedziałach jest kluczowa do określenia zbioru rozwiązań.

Rozumienie i praktyka w rozwiązywaniu nierówności oraz ich graficznej reprezentacji na osi liczbowej stanowią solidną podstawę do dalszej nauki matematyki. Pamiętaj, ćwiczenie czyni mistrza! Im więcej przykładów rozwiążesz, tym pewniej i sprawniej będziesz radzić sobie z tego typu zadaniami.