Rozwiąż Nierówności I Zapisz Zbiór Rozwiązań W Postaci Przedziału

Rozwiązywanie nierówności to fundamentalna umiejętność w matematyce, która pozwala nam określić, dla jakich wartości zmiennej dana nierówność jest prawdziwa. W przeciwieństwie do równań, gdzie szukamy konkretnych rozwiązań, w przypadku nierówności otrzymujemy zbiór rozwiązań, który zazwyczaj zapisujemy w postaci przedziału. Przyjrzyjmy się procesowi rozwiązywania nierówności i zapisywania zbioru rozwiązań w postaci przedziału, używając różnych przykładów.

Zaczniemy od prostych nierówności liniowych. Rozważmy nierówność:

2x + 3 < 7

Aby rozwiązać tę nierówność, dążymy do wyizolowania zmiennej x po jednej stronie nierówności. Odejmujemy 3 od obu stron:

2x < 4

Następnie dzielimy obie strony przez 2:

x < 2

Zbiór rozwiązań to wszystkie liczby mniejsze od 2. Zapisujemy to w postaci przedziału:

(-∞, 2)

Nawias okrągły przy 2 oznacza, że 2 nie należy do zbioru rozwiązań.

Kolejny przykład:

-3x + 5 ≥ 11

Odejmujemy 5 od obu stron:

-3x ≥ 6

Dzielimy obie strony przez -3. Pamiętajmy, że dzielenie przez liczbę ujemną zmienia znak nierówności:

x ≤ -2

Zbiór rozwiązań to wszystkie liczby mniejsze lub równe -2. Zapisujemy to w postaci przedziału:

(-∞, -2]

Nawias kwadratowy przy -2 oznacza, że -2 należy do zbioru rozwiązań.

Rozważmy teraz nierówność z ułamkami:

(x/2) + 1 > 3

Odejmujemy 1 od obu stron:

(x/2) > 2

Mnożymy obie strony przez 2:

x > 4

Zbiór rozwiązań to wszystkie liczby większe od 4. Zapisujemy to w postaci przedziału:

(4, ∞)

Nierówności mogą być bardziej złożone, zawierając więcej wyrażeń z x po obu stronach. Na przykład:

5x - 2 ≤ 3x + 4

Odejmujemy 3x od obu stron:

2x - 2 ≤ 4

Dodajemy 2 do obu stron:

2x ≤ 6

Dzielimy obie strony przez 2:

x ≤ 3

Zbiór rozwiązań to wszystkie liczby mniejsze lub równe 3. Zapisujemy to w postaci przedziału:

(-∞, 3]

Rozwiązywanie Nierówności Kwadratowych

Nierówności kwadratowe wymagają nieco innego podejścia. Na przykład:

x² - 5x + 6 > 0

Najpierw znajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego x² - 5x + 6 = 0. Możemy to zrobić, faktoryzując trójmian:

(x - 2)(x - 3) = 0

Zatem pierwiastki to x = 2 oraz x = 3.

Teraz rysujemy oś liczbową i zaznaczamy pierwiastki 2 i 3. Oś dzieli się na trzy przedziały: (-∞, 2), (2, 3) oraz (3, ∞).

Sprawdzamy znak trójmianu w każdym z tych przedziałów. Wybieramy liczbę z każdego przedziału i podstawiamy ją do nierówności x² - 5x + 6 > 0.

Przedział (-∞, 2): wybieramy x = 0. 0² - 5(0) + 6 = 6 > 0. Nierówność jest spełniona.
Przedział (2, 3): wybieramy x = 2.5. (2.5)² - 5(2.5) + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25 < 0. Nierówność nie jest spełniona.
Przedział (3, ∞): wybieramy x = 4. 4² - 5(4) + 6 = 16 - 20 + 6 = 2 > 0. Nierówność jest spełniona.

Zatem zbiór rozwiązań to suma przedziałów:

(-∞, 2) ∪ (3, ∞)

Rozważmy inną nierówność kwadratową:

x² + 2x - 3 ≤ 0

Faktoryzujemy trójmian:

(x + 3)(x - 1) ≤ 0

Pierwiastki to x = -3 oraz x = 1.

Rysujemy oś liczbową i zaznaczamy pierwiastki -3 i 1. Oś dzieli się na trzy przedziały: (-∞, -3), (-3, 1) oraz (1, ∞).

Sprawdzamy znak trójmianu w każdym z tych przedziałów.

Przedział (-∞, -3): wybieramy x = -4. (-4)² + 2(-4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5 > 0. Nierówność nie jest spełniona.
Przedział (-3, 1): wybieramy x = 0. 0² + 2(0) - 3 = -3 < 0. Nierówność jest spełniona.
Przedział (1, ∞): wybieramy x = 2. 2² + 2(2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5 > 0. Nierówność nie jest spełniona.

Ponieważ mamy nierówność "mniejsze lub równe", pierwiastki -3 i 1 również należą do zbioru rozwiązań. Zatem zbiór rozwiązań to przedział:

[-3, 1]

Nierówności mogą również zawierać wartości bezwzględne. Na przykład:

|x - 2| < 3

Oznacza to, że odległość liczby x od 2 jest mniejsza niż 3. Możemy to zapisać jako dwie nierówności:

-3 < x - 2 < 3

Dodajemy 2 do wszystkich stron:

-1 < x < 5

Zatem zbiór rozwiązań to przedział:

(-1, 5)

Kolejny przykład:

|2x + 1| ≥ 5

Oznacza to, że odległość liczby 2x + 1 od 0 jest większa lub równa 5. Możemy to zapisać jako dwie nierówności:

2x + 1 ≥ 5 lub 2x + 1 ≤ -5

Rozwiązujemy każdą z nierówności oddzielnie:

2x + 1 ≥ 5 2x ≥ 4 x ≥ 2
2x + 1 ≤ -5 2x ≤ -6 x ≤ -3

Zatem zbiór rozwiązań to suma przedziałów:

(-∞, -3] ∪ [2, ∞)

Podsumowując, rozwiązywanie nierówności polega na manipulowaniu nierównością tak, aby wyizolować zmienną i określić, dla jakich wartości zmiennej nierówność jest spełniona. Rozwiązanie nierówności jest zazwyczaj zbiorem liczb, który zapisujemy w postaci przedziału. Należy pamiętać o zmianie znaku nierówności przy dzieleniu lub mnożeniu przez liczbę ujemną oraz o uwzględnieniu pierwiastków w przypadku nierówności kwadratowych i wartości bezwzględnych. Umiejętność rozwiązywania nierówności jest kluczowa w wielu dziedzinach matematyki i nauk pokrewnych.