Rozłóż Wielomian Na Czynniki Możliwie Najniższego Stopnia

Hej klaso! Mam nadzieję, że dobrze się macie! Widzę, że macie trochę problemów z rozkładem wielomianów na czynniki. Spróbuję to wytłumaczyć tak prosto, jak się da. No to zaczynamy!

Rozkład wielomianu na czynniki to po prostu zapisanie go jako iloczynu prostszych wielomianów. Chcemy, żeby te prostsze wielomiany miały jak najniższy stopień – najlepiej liniowe (czyli coś w stylu x + a) albo kwadratowe (ax² + bx + c), jeśli nie da się inaczej. Myślcie o tym jak o rozkładaniu liczby na czynniki pierwsze – na przykład 12 to 2 * 2 * 3. Podobnie robimy z wielomianami.

Jak to robimy?

Przede wszystkim, zawsze szukamy czegoś, co możemy wyłączyć przed nawias. To jest absolutna podstawa. Sprawdźcie, czy wszystkie wyrazy w wielomianie mają jakiś wspólny czynnik liczbowy albo literowy.

Przykład:

2x³ + 4x² - 6x

Widzimy, że każdy wyraz dzieli się przez 2 i ma x. Wyciągamy 2x przed nawias:

2x(x² + 2x - 3)

Teraz musimy zająć się tym, co zostało w nawiasie, czyli x² + 2x - 3. To jest trójmian kwadratowy.

Rozkładanie trójmianu kwadratowego

Jest kilka sposobów na rozłożenie trójmianu kwadratowego (ax² + bx + c). Najpopularniejszy to szukanie miejsc zerowych, czyli rozwiązywanie równania ax² + bx + c = 0.

Liczymy deltę (Δ): Δ = b² - 4ac
Jeśli Δ > 0: Mamy dwa różne miejsca zerowe (x₁ i x₂). Liczymy je ze wzorów:
- x₁ = (-b - √Δ) / 2a
- x₂ = (-b + √Δ) / 2a Wtedy trójmian kwadratowy rozkłada się na: a(x - x₁)(x - x₂)
Jeśli Δ = 0: Mamy jedno miejsce zerowe (x₀). Liczymy je ze wzoru: x₀ = -b / 2a Wtedy trójmian kwadratowy rozkłada się na: a(x - x₀)²
Jeśli Δ < 0: Nie mamy miejsc zerowych w liczbach rzeczywistych. Trójmianu nie da się rozłożyć na czynniki liniowe (z liczbami rzeczywistymi). Zostawiamy go tak, jak jest.

Wróćmy do naszego przykładu: x² + 2x - 3

a = 1, b = 2, c = -3

Δ = 2² - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16

Δ > 0, więc mamy dwa miejsca zerowe:

x₁ = (-2 - √16) / 2 * 1 = (-2 - 4) / 2 = -3 x₂ = (-2 + √16) / 2 * 1 = (-2 + 4) / 2 = 1

Zatem x² + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1)

Wracając do naszego pierwotnego przykładu:

2x³ + 4x² - 6x = 2x(x² + 2x - 3) = 2x(x + 3)(x - 1)

Wielomian został rozłożony na czynniki liniowe!

Inne sposoby rozkładania na czynniki

Czasami trójmian kwadratowy można rozłożyć "na oko", czyli znaleźć dwie liczby, które dodane dają b, a pomnożone dają c. W naszym przykładzie szukaliśmy dwóch liczb, które dodane dają 2, a pomnożone dają -3. To właśnie 3 i -1.

Wzory skróconego mnożenia

Warto znać wzory skróconego mnożenia, bo bardzo ułatwiają rozkładanie wielomianów. Najważniejsze to:

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²
a² - b² = (a + b)(a - b)
a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

Przykład:

x² - 4

To jest różnica kwadratów: x² - 2²

Możemy to rozłożyć na: (x + 2)(x - 2)

Grupowanie wyrazów

Czasami trzeba pogrupować wyrazy w wielomianie, żeby coś wyłączyć przed nawias.

Przykład:

x³ + 2x² - 3x - 6

Pogrupujmy to tak: (x³ + 2x²) + (-3x - 6)

Teraz wyciągamy x² z pierwszej grupy i -3 z drugiej:

x²(x + 2) - 3(x + 2)

Teraz widzimy, że (x + 2) jest wspólne dla obu grup. Wyciągamy (x + 2) przed nawias:

(x + 2)(x² - 3)

(x² - 3) możemy potraktować jako różnicę kwadratów: (x - √3)(x + √3)

Zatem: x³ + 2x² - 3x - 6 = (x + 2)(x - √3)(x + √3)

Wielomiany wyższych stopni

Jeśli mamy wielomian stopnia wyższego niż 2, to sprawa się komplikuje. Często trzeba szukać pierwiastków (miejsc zerowych) "na siłę".

Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych: Jeśli wielomian o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek wymierny (czyli ułamek p/q), to p musi być dzielnikiem wyrazu wolnego, a q musi być dzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze. Czyli sprawdzamy dzielniki wyrazu wolnego.
Dzielenie pisemne wielomianów: Jeśli znajdziemy pierwiastek x₀, to możemy podzielić wielomian przez (x - x₀). Wynikiem będzie wielomian o stopień niższy.

Przykład:

x³ - 6x² + 11x - 6

Szukamy dzielników wyrazu wolnego (-6): ±1, ±2, ±3, ±6

Sprawdzamy:

Dla x = 1: 1³ - 6 * 1² + 11 * 1 - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0 Zatem x = 1 jest pierwiastkiem.

Dzielimy (x³ - 6x² + 11x - 6) przez (x - 1) (można pisemnie lub schematem Hornera - polecam schemat Hornera):

Wynikiem dzielenia jest x² - 5x + 6

Teraz rozkładamy x² - 5x + 6: Szukamy liczb, które dodane dają -5, a pomnożone dają 6. To -2 i -3.

Zatem x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

Ostatecznie: x³ - 6x² + 11x - 6 = (x - 1)(x - 2)(x - 3)

Podsumowanie

Rozkładanie wielomianów na czynniki to trochę zabawy w detektywa. Najpierw szukamy tego, co można wyłączyć przed nawias. Potem patrzymy na trójmiany kwadratowe i używamy delty albo wzorów skróconego mnożenia. Jak mamy wielomian wyższego stopnia, to szukamy pierwiastków i dzielimy. Pamiętajcie o ćwiczeniach! Im więcej przykładów zrobicie, tym łatwiej wam to będzie szło. Nie zrażajcie się, jeśli coś nie wychodzi od razu. Praktyka czyni mistrza! I zawsze możecie wrócić do mnie z pytaniami. Powodzenia!