Równania Sprowadzalne Do Równań Kwadratowych Zadania Pdf

Równania sprowadzalne do równań kwadratowych stanowią fascynujący obszar matematyki, gdzie na pierwszy rzut oka złożone wyrażenia algebraiczne, przy pomocy odpowiednich przekształceń, ujawniają swoją kwadratową naturę. Umiejętność rozwiązywania takich równań jest niezwykle cenna, nie tylko w kontekście szkolnych zadań, ale także w dalszych studiach matematycznych i technicznych. W niniejszym artykule skupimy się na różnorodnych przykładach i technikach, które pozwolą skutecznie identyfikować i rozwiązywać równania sprowadzalne do równań kwadratowych.

Rozpocznijmy od równań dwukwadratowych. Charakteryzują się one postacią ax⁴ + bx² + c = 0. Zastępujemy x² nową zmienną, np. t. Otrzymujemy wtedy równanie kwadratowe at² + bt + c = 0. Rozwiązujemy to równanie kwadratowe względem t. Następnie, wracamy do podstawienia x² = t i rozwiązujemy dwa równania x² = t₁, oraz x² = t₂, gdzie t₁ i t₂ są rozwiązaniami równania kwadratowego. Rozważmy przykład: x⁴ - 5x² + 4 = 0. Podstawiamy t = x². Otrzymujemy t² - 5t + 4 = 0. Rozwiązujemy równanie kwadratowe t² - 5t + 4 = 0. Δ = (-5)² - 4 * 1 * 4 = 25 - 16 = 9. √Δ = 3. t₁ = (5 - 3) / 2 = 1. t₂ = (5 + 3) / 2 = 4. Teraz wracamy do podstawienia. x² = 1, więc x = 1 lub x = -1. x² = 4, więc x = 2 lub x = -2. Zatem rozwiązaniami równania x⁴ - 5x² + 4 = 0 są x = -2, x = -1, x = 1, x = 2.

Kolejnym typem równań są równania, które po odpowiednim przekształceniu, pozwalają na wprowadzenie nowej zmiennej, która upraszcza problem do formy kwadratowej. Rozważmy równanie: (x² + 2x)² - 5(x² + 2x) + 6 = 0. Podstawiamy t = x² + 2x. Otrzymujemy t² - 5t + 6 = 0. Rozwiązujemy równanie kwadratowe t² - 5t + 6 = 0. Δ = (-5)² - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1. √Δ = 1. t₁ = (5 - 1) / 2 = 2. t₂ = (5 + 1) / 2 = 3. Teraz wracamy do podstawienia. x² + 2x = 2. x² + 2x - 2 = 0. Δ = 2² - 4 * 1 * (-2) = 4 + 8 = 12. √Δ = 2√3. x₁ = (-2 - 2√3) / 2 = -1 - √3. x₂ = (-2 + 2√3) / 2 = -1 + √3. Następnie rozwiązujemy x² + 2x = 3. x² + 2x - 3 = 0. Δ = 2² - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16. √Δ = 4. x₃ = (-2 - 4) / 2 = -3. x₄ = (-2 + 4) / 2 = 1. Zatem rozwiązaniami równania (x² + 2x)² - 5(x² + 2x) + 6 = 0 są x = -3, x = -1 - √3, x = -1 + √3, x = 1.

Niektóre równania wymagają sprytnego grupowania wyrazów i wyciągania wspólnego czynnika, aby doprowadzić je do postaci, w której można zastosować podstawienie. Rozważmy przykład: (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) = 24. Mnożymy pierwsze dwa nawiasy i ostatnie dwa nawiasy. (x² - 3x + 2)(x² - 7x + 12) = 24. Teraz staramy się, aby pojawił się wspólny element. Zauważmy, że -3x + 2 i -7x + 12 "średnia" to -5x + 7, a nie mamy tutaj takiej postaci. Spróbujmy inaczej. Mnożymy (x - 1)(x - 4) i (x - 2)(x - 3). (x² - 5x + 4)(x² - 5x + 6) = 24. Teraz podstawiamy t = x² - 5x. (t + 4)(t + 6) = 24. t² + 10t + 24 = 24. t² + 10t = 0. t(t + 10) = 0. t = 0 lub t = -10. Wracamy do podstawienia. x² - 5x = 0. x(x - 5) = 0. x = 0 lub x = 5. Następnie rozwiązujemy x² - 5x = -10. x² - 5x + 10 = 0. Δ = (-5)² - 4 * 1 * 10 = 25 - 40 = -15. Ponieważ Δ < 0, to to równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych. Zatem rozwiązaniami równania (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) = 24 są x = 0 i x = 5.

Równania z pierwiastkami

Równania zawierające pierwiastki często sprowadzają się do równań kwadratowych po podniesieniu obu stron równania do odpowiedniej potęgi. Kluczowe jest jednak, aby po rozwiązaniu sprawdzić, czy otrzymane rozwiązania spełniają wyjściowe równanie, ponieważ podnoszenie do potęgi może wprowadzić tzw. rozwiązania fałszywe. Rozważmy równanie: √(x + 5) = x - 1. Podnosimy obie strony do kwadratu. x + 5 = (x - 1)². x + 5 = x² - 2x + 1. x² - 3x - 4 = 0. Δ = (-3)² - 4 * 1 * (-4) = 9 + 16 = 25. √Δ = 5. x₁ = (3 - 5) / 2 = -1. x₂ = (3 + 5) / 2 = 4. Sprawdzamy rozwiązania. Dla x = -1: √(x + 5) = √(-1 + 5) = √4 = 2. x - 1 = -1 - 1 = -2. 2 ≠ -2, więc x = -1 nie jest rozwiązaniem. Dla x = 4: √(x + 5) = √(4 + 5) = √9 = 3. x - 1 = 4 - 1 = 3. 3 = 3, więc x = 4 jest rozwiązaniem. Zatem rozwiązaniem równania √(x + 5) = x - 1 jest x = 4.

Inny przykład: √(2x + 1) + x = 7. √(2x + 1) = 7 - x. Podnosimy obie strony do kwadratu. 2x + 1 = (7 - x)². 2x + 1 = 49 - 14x + x². x² - 16x + 48 = 0. Δ = (-16)² - 4 * 1 * 48 = 256 - 192 = 64. √Δ = 8. x₁ = (16 - 8) / 2 = 4. x₂ = (16 + 8) / 2 = 12. Sprawdzamy rozwiązania. Dla x = 4: √(2x + 1) + x = √(2 * 4 + 1) + 4 = √9 + 4 = 3 + 4 = 7. 7 = 7, więc x = 4 jest rozwiązaniem. Dla x = 12: √(2x + 1) + x = √(2 * 12 + 1) + 12 = √25 + 12 = 5 + 12 = 17. 17 ≠ 7, więc x = 12 nie jest rozwiązaniem. Zatem rozwiązaniem równania √(2x + 1) + x = 7 jest x = 4.

Podsumowanie

Rozwiązywanie równań sprowadzalnych do kwadratowych wymaga umiejętności rozpoznawania odpowiednich struktur algebraicznych i stosowania właściwych podstawień lub przekształceń. Kluczowe jest również pamiętanie o sprawdzaniu otrzymanych rozwiązań, szczególnie w przypadku równań z pierwiastkami, aby wyeliminować ewentualne rozwiązania fałszywe. Praktyka i rozwiązywanie różnorodnych zadań pozwolą na opanowanie tych technik i skuteczne rozwiązywanie tego typu problemów.