Równania I Nierówności Kwadratowe Z Wartością Bezwzględną

Rozwiązywanie równań i nierówności kwadratowych z wartością bezwzględną wymaga strategicznego podejścia, uwzględniającego specyfikę funkcji wartości bezwzględnej. Wartość bezwzględna liczby x, oznaczana jako |x|, definiuje się jako odległość tej liczby od zera na osi liczbowej. Formalnie:

| x | = x, gdy x ≥ 0 | x | = -x, gdy x < 0

Kluczową zasadą przy rozwiązywaniu równań i nierówności z wartością bezwzględną jest rozpatrywanie przypadków, wynikających z definicji wartości bezwzględnej.

Rozważmy równanie kwadratowe z wartością bezwzględną: |x² - 4| = 5.

Musimy przeanalizować dwa przypadki:

1. Gdy x² - 4 ≥ 0, to |x² - 4| = x² - 4. Zatem nasze równanie przyjmuje postać: x² - 4 = 5. Przenosząc 4 na prawą stronę, otrzymujemy x² = 9. Stąd x = 3 lub x = -3. Sprawdźmy warunek x² - 4 ≥ 0 dla x = 3 i x = -3. Dla x = 3 mamy 3² - 4 = 9 - 4 = 5 ≥ 0, co spełnia warunek. Dla x = -3 mamy (-3)² - 4 = 9 - 4 = 5 ≥ 0, co również spełnia warunek. Zatem x = 3 i x = -3 są rozwiązaniami w tym przypadku.

2. Gdy x² - 4 < 0, to |x² - 4| = -( x² - 4) = -x² + 4. Zatem nasze równanie przyjmuje postać: -x² + 4 = 5. Przenosząc 4 na prawą stronę, otrzymujemy -x² = 1. Mnożąc obie strony przez -1, mamy x² = -1. Równanie to nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych, ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny.

Zatem jedynymi rozwiązaniami równania |x² - 4| = 5 są x = 3 i x = -3.

Przejdźmy teraz do nierówności kwadratowych z wartością bezwzględną. Rozważmy nierówność |x² - 1| < 3.

Ponownie, analizujemy dwa przypadki:

1. Gdy x² - 1 ≥ 0, to |x² - 1| = x² - 1. Zatem nierówność przyjmuje postać: x² - 1 < 3. Przenosząc 1 na prawą stronę, otrzymujemy x² < 4. Rozwiązaniem tej nierówności jest przedział (-2, 2). Musimy jeszcze uwzględnić warunek x² - 1 ≥ 0, czyli x² ≥ 1. Rozwiązaniem tej nierówności jest suma przedziałów (-∞, -1] ∪ [1, ∞). Aby znaleźć rozwiązania w tym przypadku, musimy wziąć część wspólną przedziału (-2, 2) i sumy przedziałów (-∞, -1] ∪ [1, ∞). Częścią wspólną jest suma przedziałów (-2, -1] ∪ [1, 2).

2. Gdy x² - 1 < 0, to |x² - 1| = -( x² - 1) = -x² + 1. Zatem nierówność przyjmuje postać: -x² + 1 < 3. Przenosząc 1 na prawą stronę, otrzymujemy -x² < 2. Mnożąc obie strony przez -1 (i zmieniając znak nierówności), mamy x² > -2. Ta nierówność jest spełniona dla wszystkich liczb rzeczywistych, ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest zawsze większy lub równy 0, a więc większy niż -2. Musimy jeszcze uwzględnić warunek x² - 1 < 0, czyli x² < 1. Rozwiązaniem tej nierówności jest przedział (-1, 1). Ponieważ nierówność x² > -2 jest spełniona dla wszystkich liczb rzeczywistych, rozwiązaniem w tym przypadku jest przedział (-1, 1).

Ostatecznym rozwiązaniem nierówności |x² - 1| < 3 jest suma rozwiązań z obu przypadków, czyli suma przedziałów (-2, -1] ∪ [1, 2) i przedziału (-1, 1). Daje to przedział (-2, 2).

Rozważmy bardziej skomplikowany przykład: |x² - 5x + 6| > 2.

1. Przypadek x² - 5x + 6 ≥ 0. Wtedy |x² - 5x + 6| = x² - 5x + 6. Nasza nierówność przyjmuje postać x² - 5x + 6 > 2, co daje x² - 5x + 4 > 0. Szukamy miejsc zerowych trójmianu x² - 5x + 4. Δ = (-5)² - 4 * 1 * 4 = 25 - 16 = 9. √Δ = 3. x₁ = (5 - 3) / 2 = 1, x₂ = (5 + 3) / 2 = 4. Zatem x² - 5x + 4 > 0 dla x ∈ (-∞, 1) ∪ (4, ∞). Musimy jeszcze sprawdzić, kiedy x² - 5x + 6 ≥ 0. Miejsca zerowe to x₁ = (5 - √1) / 2 = 2, x₂ = (5 + √1) / 2 = 3. Zatem x² - 5x + 6 ≥ 0 dla x ∈ (-∞, 2] ∪ [3, ∞). Część wspólna (-∞, 1) ∪ (4, ∞) i (-∞, 2] ∪ [3, ∞) to (-∞, 1) ∪ (4, ∞).

2. Przypadek x² - 5x + 6 < 0. Wtedy |x² - 5x + 6| = -(x² - 5x + 6) = -x² + 5x - 6. Nasza nierówność przyjmuje postać -x² + 5x - 6 > 2, co daje -x² + 5x - 8 > 0, a po pomnożeniu przez -1: x² - 5x + 8 < 0. Δ = (-5)² - 4 * 1 * 8 = 25 - 32 = -7. Ponieważ Δ < 0, a współczynnik przy x² jest dodatni, x² - 5x + 8 > 0 dla wszystkich x. Zatem nierówność x² - 5x + 8 < 0 nie ma rozwiązań. Oznacza to, że w tym przypadku nie ma rozwiązań. Sprawdzamy kiedy x² - 5x + 6 < 0. Miejsca zerowe to x₁ = 2 i x₂ = 3. Zatem x² - 5x + 6 < 0 dla x ∈ (2, 3). Ponieważ x² - 5x + 8 zawsze jest większe od zera to rozwiązaniem jest (2,3).

Ostatecznie, rozwiązaniem nierówności |x² - 5x + 6| > 2 jest suma rozwiązań z obu przypadków czyli suma (-∞, 1) ∪ (4, ∞) i (2,3). Zatem ostatecznym rozwiązaniem jest (-∞, 1) ∪ (2, 3) ∪ (4, ∞).

Nierówności typu |f(x)| < g(x) i |f(x)| > g(x)

Rozważmy nierówność typu |f(x)| < g(x). Jest ona równoważna koniunkcji dwóch nierówności: -g(x) < f(x) < g(x). Czyli musimy rozwiązać układ nierówności:

f(x) < g(x) f(x) > -g(x)

Natomiast nierówność typu |f(x)| > g(x) jest równoważna alternatywie dwóch nierówności: f(x) > g(x) lub f(x) < -g(x). Czyli musimy rozwiązać dwie nierówności:

f(x) > g(x) f(x) < -g(x)

i wziąć sumę zbiorów rozwiązań.

Przykład: |x² - x| < 2

Jest to nierówność typu |f(x)| < g(x), gdzie f(x) = x² - x i g(x) = 2. Zatem:

-2 < x² - x < 2

Rozwiązujemy układ nierówności:

x² - x < 2 => x² - x - 2 < 0 x² - x > -2 => x² - x + 2 > 0

Dla x² - x - 2 < 0: Δ = (-1)² - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9. √Δ = 3. x₁ = (1 - 3) / 2 = -1, x₂ = (1 + 3) / 2 = 2. Zatem x² - x - 2 < 0 dla x ∈ (-1, 2).

Dla x² - x + 2 > 0: Δ = (-1)² - 4 * 1 * 2 = 1 - 8 = -7. Ponieważ Δ < 0 i współczynnik przy x² jest dodatni, x² - x + 2 > 0 dla wszystkich x ∈ ℝ.

Częścią wspólną rozwiązań jest przedział (-1, 2). Zatem rozwiązaniem nierówności |x² - x| < 2 jest przedział (-1, 2).

Podsumowanie

Rozwiązywanie równań i nierówności kwadratowych z wartością bezwzględną sprowadza się do rozpatrywania przypadków, wynikających z definicji wartości bezwzględnej. Należy pamiętać o sprawdzeniu warunków, które definiują poszczególne przypadki, aby wykluczyć rozwiązania sprzeczne. Dla nierówności typu |f(x)| < g(x) i |f(x)| > g(x) można zastosować równoważne układy lub alternatywy nierówności, co upraszcza proces rozwiązywania. Kluczem do sukcesu jest systematyczne podejście i dokładne analizowanie każdego przypadku.