Punkty Przecięcia Paraboli Z Osiami Układu Współrzędnych

Dzień dobry wszystkim! Dzisiaj porozmawiamy o czymś, co często pojawia się na matematyce, a mianowicie o punktach przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych. To brzmi strasznie, ale obiecuję, że jest to prostsze niż się wydaje!

Wyobraź sobie parabolę. To taki łuk, jakby ktoś rzucił piłką w górę i narysował jej tor lotu. Ten łuk leży sobie na naszym wykresie, który ma dwie osie: poziomą oś X i pionową oś Y. Punkty przecięcia to po prostu miejsca, gdzie ta parabola przecina te osie. Znalezienie tych punktów jest naprawdę przydatne, bo daje nam informacje o tym, jak ta parabola wygląda i gdzie się znajduje.

Żeby znaleźć te punkty, potrzebujemy znać równanie paraboli. Najczęściej spotykamy się z równaniem w postaci ogólnej:

y = ax² + bx + c

Gdzie a, b i c to jakieś liczby. Ważne jest, żeby a było różne od zera, bo inaczej to nie będzie parabola!

Punkt Przecięcia z Osią Y

To najłatwiejsze! Żeby znaleźć punkt, w którym parabola przecina oś Y, musimy sobie przypomnieć, co wiemy o osi Y. Na osi Y wszystkie punkty mają współrzędną x równą zero. Zatem, żeby znaleźć ten punkt przecięcia, po prostu wstawiamy x = 0 do naszego równania paraboli:

y = a(0)² + b(0) + c

Co upraszcza się do:

y = c

Oznacza to, że punkt przecięcia z osią Y ma współrzędne (0, c). Czyli po prostu bierzemy liczbę c z naszego równania i to jest wartość y w punkcie przecięcia!

Przykład: Jeśli mamy parabolę y = 2x² + 3x + 5, to punkt przecięcia z osią Y to (0, 5). Proste, prawda?

Punkty Przecięcia z Osią X

Tutaj jest trochę więcej zabawy, ale bez obaw, damy radę! Podobnie jak wcześniej, musimy sobie przypomnieć, co wiemy o osi X. Na osi X wszystkie punkty mają współrzędną y równą zero. Więc, żeby znaleźć punkty przecięcia z osią X, wstawiamy y = 0 do naszego równania paraboli:

0 = ax² + bx + c

Teraz musimy rozwiązać to równanie kwadratowe. Istnieje kilka sposobów, żeby to zrobić. Najpopularniejszy to użycie tak zwanej delty (Δ). Delta to taka liczba, która mówi nam ile rozwiązań ma nasze równanie kwadratowe. Wzór na deltę wygląda tak:

Δ = b² - 4ac

Teraz, w zależności od wartości delty, mamy trzy możliwości:

Δ > 0: To oznacza, że mamy dwa różne punkty przecięcia z osią X. Żeby je znaleźć, musimy obliczyć pierwiastki równania kwadratowego, używając wzorów:

x₁ = (-b - √Δ) / 2a x₂ = (-b + √Δ) / 2a

Czyli mamy dwa punkty przecięcia: (x₁, 0) i (x₂, 0).
Δ = 0: To oznacza, że mamy tylko jeden punkt przecięcia z osią X. To znaczy, że parabola dotyka osi X w jednym miejscu. Pierwiastek równania kwadratowego obliczamy ze wzoru:

x = -b / 2a

Czyli mamy jeden punkt przecięcia: (x, 0).
Δ < 0: To oznacza, że parabola nie przecina osi X w ogóle. Nie ma punktów przecięcia z osią X. To znaczy, że cała parabola leży albo nad osią X, albo pod nią.

Przykład 1: Znajdź punkty przecięcia paraboli y = x² - 5x + 6 z osiami układu współrzędnych.

Oś Y: Wstawiamy x = 0 do równania: y = 0² - 5(0) + 6 = 6. Czyli punkt przecięcia z osią Y to (0, 6).
Oś X: Wstawiamy y = 0 do równania: 0 = x² - 5x + 6. Obliczamy deltę: Δ = (-5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1. Ponieważ Δ > 0, mamy dwa punkty przecięcia. Obliczamy pierwiastki:

x₁ = (5 - √1) / 2(1) = (5 - 1) / 2 = 2 x₂ = (5 + √1) / 2(1) = (5 + 1) / 2 = 3

Czyli punkty przecięcia z osią X to (2, 0) i (3, 0).

Przykład 2: Znajdź punkty przecięcia paraboli y = x² - 4x + 4 z osiami układu współrzędnych.

Oś Y: Wstawiamy x = 0 do równania: y = 0² - 4(0) + 4 = 4. Czyli punkt przecięcia z osią Y to (0, 4).
Oś X: Wstawiamy y = 0 do równania: 0 = x² - 4x + 4. Obliczamy deltę: Δ = (-4)² - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0. Ponieważ Δ = 0, mamy jeden punkt przecięcia. Obliczamy pierwiastek:

x = 4 / 2(1) = 2

Czyli punkt przecięcia z osią X to (2, 0).

Przykład 3: Znajdź punkty przecięcia paraboli y = x² + 2x + 5 z osiami układu współrzędnych.

Oś Y: Wstawiamy x = 0 do równania: y = 0² + 2(0) + 5 = 5. Czyli punkt przecięcia z osią Y to (0, 5).
Oś X: Wstawiamy y = 0 do równania: 0 = x² + 2x + 5. Obliczamy deltę: Δ = (2)² - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16. Ponieważ Δ < 0, parabola nie przecina osi X.

Podsumowując, znalezienie punktów przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych to przydatna umiejętność, która pozwala nam zrozumieć położenie i kształt paraboli. Dla osi Y wystarczy wstawić x = 0 do równania. Dla osi X wstawiamy y = 0 i rozwiązujemy równanie kwadratowe. Pamiętamy o delcie! Powodzenia!