Przez Które ćwiartki Układu Współrzędnych Przechodzi Prosta

Prosta w układzie współrzędnych to jedno z podstawowych pojęć geometrii analitycznej. Zanim zagłębimy się w analizę, przez które ćwiartki może przechodzić, warto przypomnieć sobie podstawowe definicje. Układ współrzędnych, zwany kartezjańskim, składa się z dwóch osi: osi odciętych (x) i osi rzędnych (y), przecinających się pod kątem prostym w punkcie nazywanym początkiem układu współrzędnych (0, 0). Osie te dzielą płaszczyznę na cztery ćwiartki.

Ćwiartka I: x > 0, y > 0
Ćwiartka II: x < 0, y > 0
Ćwiartka III: x < 0, y < 0
Ćwiartka IV: x > 0, y < 0

Równanie prostej w postaci kierunkowej wyraża się wzorem: y = ax + b, gdzie 'a' to współczynnik kierunkowy, a 'b' to wyraz wolny. Współczynnik 'a' decyduje o nachyleniu prostej względem osi x, natomiast 'b' określa punkt przecięcia prostej z osią y. Analiza wartości 'a' i 'b' pozwala wnioskować, przez które ćwiartki przechodzi dana prosta.

Zacznijmy od prostych równoległych do osi. Prosta równoległa do osi x ma równanie y = b. Jeśli b > 0, prosta przechodzi przez ćwiartki I i II. Jeśli b < 0, prosta przechodzi przez ćwiartki III i IV. Jeśli b = 0, prosta pokrywa się z osią x, nie przechodzi przez żadną ćwiartkę w sensie ścisłym, ale leży na ich granicy. Podobnie, prosta równoległa do osi y ma równanie x = c. Jeśli c > 0, prosta przechodzi przez ćwiartki I i IV. Jeśli c < 0, prosta przechodzi przez ćwiartki II i III. Jeśli c = 0, prosta pokrywa się z osią y.

Rozważmy teraz proste o równaniu y = ax + b, gdzie a ≠ 0.

Analiza współczynnika kierunkowego 'a' i wyrazu wolnego 'b'

Zastanówmy się nad różnymi przypadkami:

a > 0, b > 0: Prosta rośnie (idzie w górę) od lewej do prawej i przecina oś y powyżej osi x. Przechodzi przez ćwiartki I, II i III. Aby to zrozumieć, pomyślmy, co się dzieje, gdy x dąży do minus nieskończoności. Wtedy ax staje się bardzo dużą liczbą ujemną, ale dodajemy do niej b (które jest dodatnie). Jeśli |ax| > b, to y będzie ujemne, co oznacza, że prosta przechodzi przez ćwiartkę III. Gdy x dąży do plus nieskończoności, ax staje się bardzo dużą liczbą dodatnią, a y również jest dodatnie, więc prosta przechodzi przez ćwiartkę I. Ponieważ b > 0, prosta przecina oś y powyżej osi x, czyli przechodzi przez ćwiartkę II.
a > 0, b < 0: Prosta rośnie i przecina oś y poniżej osi x. Przechodzi przez ćwiartki I, III i IV. Gdy x dąży do minus nieskończoności, ax staje się bardzo dużą liczbą ujemną, a dodajemy do niej b (które jest ujemne). y jest ujemne, co oznacza, że prosta przechodzi przez ćwiartkę III. Gdy x dąży do plus nieskończoności, ax staje się bardzo dużą liczbą dodatnią, a y jest dodatnie, więc prosta przechodzi przez ćwiartkę I. Ponieważ b < 0, prosta przecina oś y poniżej osi x, czyli przechodzi przez ćwiartkę IV.
a < 0, b > 0: Prosta maleje (idzie w dół) od lewej do prawej i przecina oś y powyżej osi x. Przechodzi przez ćwiartki I, II i IV. Gdy x dąży do minus nieskończoności, ax staje się bardzo dużą liczbą dodatnią, a y jest dodatnie, co oznacza, że prosta przechodzi przez ćwiartkę I. Gdy x dąży do plus nieskończoności, ax staje się bardzo dużą liczbą ujemną, a dodajemy do niej b (które jest dodatnie). Jeśli |ax| > b, to y będzie ujemne, co oznacza, że prosta przechodzi przez ćwiartkę IV. Ponieważ b > 0, prosta przecina oś y powyżej osi x, czyli przechodzi przez ćwiartkę II.
a < 0, b < 0: Prosta maleje i przecina oś y poniżej osi x. Przechodzi przez ćwiartki II, III i IV. Gdy x dąży do minus nieskończoności, ax staje się bardzo dużą liczbą dodatnią, a y jest dodatnie, co oznacza, że prosta przechodzi przez ćwiartkę II. Gdy x dąży do plus nieskończoności, ax staje się bardzo dużą liczbą ujemną, a y jest ujemne, więc prosta przechodzi przez ćwiartkę III. Ponieważ b < 0, prosta przecina oś y poniżej osi x, czyli przechodzi przez ćwiartkę IV.
a > 0, b = 0: Prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych i rośnie. Przechodzi przez ćwiartki I i III. Równanie prostej to y = ax. Dla x > 0, y > 0 (ćwiartka I). Dla x < 0, y < 0 (ćwiartka III).
a < 0, b = 0: Prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych i maleje. Przechodzi przez ćwiartki II i IV. Równanie prostej to y = ax. Dla x < 0, y > 0 (ćwiartka II). Dla x > 0, y < 0 (ćwiartka IV).

Wyjątkowym przypadkiem jest prosta, która przechodzi przez początek układu współrzędnych (0, 0). Wtedy b = 0, a równanie prostej upraszcza się do y = ax. Jak już widzieliśmy, taka prosta przechodzi przez ćwiartki I i III (gdy a > 0) lub przez ćwiartki II i IV (gdy a < 0).

Podsumowując, prosta może przechodzić przez maksymalnie trzy ćwiartki układu współrzędnych. Nie ma możliwości, aby prosta przechodziła tylko przez jedną ćwiartkę (poza przypadkiem pokrywania się z osią).

Należy również pamiętać o prostych szczególnych, które pokrywają się z osiami układu współrzędnych. Oś x (y = 0) i oś y (x = 0) nie przechodzą przez żadną ćwiartkę w ścisłym sensie, ale stanowią ich granice.

Przeanalizujmy jeszcze kilka przykładów, aby utrwalić zdobytą wiedzę:

y = 2x + 3: a = 2 (dodatnie), b = 3 (dodatnie). Prosta przechodzi przez ćwiartki I, II i III.
y = -x + 1: a = -1 (ujemne), b = 1 (dodatnie). Prosta przechodzi przez ćwiartki I, II i IV.
y = 0.5x - 2: a = 0.5 (dodatnie), b = -2 (ujemne). Prosta przechodzi przez ćwiartki I, III i IV.
y = -3x - 4: a = -3 (ujemne), b = -4 (ujemne). Prosta przechodzi przez ćwiartki II, III i IV.

Widać, że analiza znaku współczynnika kierunkowego 'a' i wyrazu wolnego 'b' pozwala w prosty sposób określić, przez które ćwiartki przechodzi dana prosta. Kluczem jest zrozumienie, jak zmienia się wartość y w zależności od x i jak wpływa na to położenie punktu przecięcia z osią y.