Przedstaw Trójmian Kwadratowy W Postaci Iloczynowej Jeśli To Możliwe

Rozważmy trójmian kwadratowy w postaci ogólnej: ax² + bx + c, gdzie a, b i c są współczynnikami, przy czym a ≠ 0. Postać iloczynowa, o ile istnieje, wyraża się wzorem: a(x - x₁)(x - x₂), gdzie x₁ i x₂ są pierwiastkami (miejscami zerowymi) trójmianu kwadratowego.

Aby przedstawić trójmian kwadratowy w postaci iloczynowej, kluczowe jest znalezienie jego pierwiastków. Proces ten opiera się na obliczeniu wyróżnika, powszechnie znanego jako delta (Δ).

Obliczanie Delty (Δ)

Delta obliczana jest ze wzoru: Δ = b² - 4ac. Wartość delty determinuje liczbę i rodzaj pierwiastków trójmianu.

• Δ > 0: Trójmian ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, które można obliczyć ze wzorów:

  • x₁ = (-b - √Δ) / 2a
  • x₂ = (-b + √Δ) / 2a W takim przypadku trójmian można zapisać w postaci iloczynowej: a(x - x₁)(x - x₂).

• Δ = 0: Trójmian ma jeden pierwiastek rzeczywisty (podwójny), który obliczamy ze wzoru:

  • x₀ = -b / 2a W tym przypadku trójmian można zapisać w postaci: a(x - x₀)².

• Δ < 0: Trójmian nie ma pierwiastków rzeczywistych. Ma dwa pierwiastki zespolone, ale w kontekście przedstawiania w postaci iloczynowej operującej na liczbach rzeczywistych, nie można go rozłożyć na czynniki liniowe z współczynnikami rzeczywistymi. Postać iloczynowa w zbiorze liczb rzeczywistych nie istnieje.

Przykłady

Rozważmy kilka przykładów ilustrujących powyższe kroki:

1. Trójmian: x² - 5x + 6

   • a = 1, b = -5, c = 6
   • Δ = (-5)² - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1
   • Δ > 0, więc istnieją dwa pierwiastki rzeczywiste.
   • x₁ = (5 - √1) / 2 = (5 - 1) / 2 = 2
   • x₂ = (5 + √1) / 2 = (5 + 1) / 2 = 3
   • Postać iloczynowa: (x - 2)(x - 3)

2. Trójmian: 2x² + 4x + 2

   • a = 2, b = 4, c = 2
   • Δ = 4² - 4 * 2 * 2 = 16 - 16 = 0
   • Δ = 0, więc istnieje jeden pierwiastek rzeczywisty (podwójny).
   • x₀ = -4 / (2 * 2) = -1
   • Postać iloczynowa: 2(x + 1)²

3. Trójmian: x² + x + 1

   • a = 1, b = 1, c = 1
   • Δ = 1² - 4 * 1 * 1 = 1 - 4 = -3
   • Δ < 0, więc trójmian nie ma pierwiastków rzeczywistych. Nie można go przedstawić w postaci iloczynowej z użyciem liczb rzeczywistych.

4. Trójmian: -x² + 6x - 9

   • a = -1, b = 6, c = -9
   • Δ = 6² - 4 * (-1) * (-9) = 36 - 36 = 0
   • Δ = 0, więc istnieje jeden pierwiastek rzeczywisty (podwójny).
   • x₀ = -6 / (2 * -1) = 3
   • Postać iloczynowa: -(x - 3)²

5. Trójmian: 3x² - 12x + 9

   • a = 3, b = -12, c = 9
   • Δ = (-12)² - 4 * 3 * 9 = 144 - 108 = 36
   • Δ > 0, więc istnieją dwa pierwiastki rzeczywiste.
   • x₁ = (12 - √36) / (2 * 3) = (12 - 6) / 6 = 1
   • x₂ = (12 + √36) / (2 * 3) = (12 + 6) / 6 = 3
   • Postać iloczynowa: 3(x - 1)(x - 3)

Szczególne Przypadki i Uproszczenia

W niektórych przypadkach, zanim przystąpimy do obliczania delty, warto sprawdzić, czy trójmian nie jest szczególnym przypadkiem, który można łatwiej rozłożyć na czynniki. Dotyczy to na przykład sytuacji, gdy trójmian jest różnicą kwadratów lub kwadratem sumy/różnicy.

Na przykład, trójmian x² - 4 jest różnicą kwadratów i można go od razu zapisać jako (x - 2)(x + 2). Podobnie, trójmian x² + 2x + 1 jest kwadratem sumy i można go zapisać jako (x + 1)². Zauważenie tych wzorów skróconego mnożenia może znacząco przyspieszyć proces rozkładu na czynniki.

Podsumowanie Procesu

1. Zidentyfikuj współczynniki a, b i c w trójmianie kwadratowym ax² + bx + c.
2. Oblicz deltę (Δ) ze wzoru Δ = b² - 4ac.
3. Sprawdź znak delty:
   • Jeśli Δ > 0, oblicz dwa różne pierwiastki rzeczywiste x₁ i x₂ i zapisz trójmian w postaci iloczynowej a(x - x₁)(x - x₂).
   • Jeśli Δ = 0, oblicz jeden pierwiastek rzeczywisty (podwójny) x₀ i zapisz trójmian w postaci a(x - x₀)².
   • Jeśli Δ < 0, trójmian nie ma pierwiastków rzeczywistych i nie można go przedstawić w postaci iloczynowej z użyciem liczb rzeczywistych.
4. Przed obliczeniem delty sprawdź, czy trójmian nie jest szczególnym przypadkiem (np. różnicą kwadratów, kwadratem sumy/różnicy), co pozwoli na szybsze rozłożenie na czynniki.

Przestrzeganie tych kroków zapewni poprawne przedstawienie trójmianu kwadratowego w postaci iloczynowej, o ile jest to możliwe w zbiorze liczb rzeczywistych. Pamiętaj, że dokładność obliczeń jest kluczowa, zwłaszcza przy obliczaniu pierwiastków kwadratowych z delty. Błędne obliczenia mogą prowadzić do niepoprawnego przedstawienia trójmianu lub błędnego stwierdzenia o braku możliwości przedstawienia go w postaci iloczynowej.