Porównaj Ułamki Sprowadź Je Najpierw Do Wspólnego Mianownika

Dzień dobry wszystkim! Dzisiaj porozmawiamy o porównywaniu ułamków, a konkretnie o tym, jak sprowadzić je do wspólnego mianownika, aby łatwiej je porównać. Często na pierwszy rzut oka nie widać, który ułamek jest większy, zwłaszcza gdy mają różne mianowniki. Dlatego ta metoda jest bardzo przydatna.

Zacznijmy od prostego przykładu. Załóżmy, że mamy dwa ułamki: 1/2 i 1/3. Który z nich jest większy? Może wydawać się, że 1/3 jest większe, bo ma większą liczbę w mianowniku, ale to nieprawda. Musimy je sprowadzić do wspólnego mianownika, żeby to sprawdzić.

Szukamy liczby, która jest podzielna zarówno przez 2 (mianownik pierwszego ułamka), jak i przez 3 (mianownik drugiego ułamka). Najmniejszą taką liczbą jest 6.

Teraz musimy przekształcić oba ułamki, aby miały mianownik równy 6.

Ułamek 1/2: Zastanawiamy się, przez ile musimy pomnożyć 2, żeby otrzymać 6? Odpowiedź to 3. Więc mnożymy zarówno licznik, jak i mianownik ułamka 1/2 przez 3. Otrzymujemy (1 * 3) / (2 * 3) = 3/6.

Ułamek 1/3: Zastanawiamy się, przez ile musimy pomnożyć 3, żeby otrzymać 6? Odpowiedź to 2. Więc mnożymy zarówno licznik, jak i mianownik ułamka 1/3 przez 2. Otrzymujemy (1 * 2) / (3 * 2) = 2/6.

Teraz mamy dwa ułamki: 3/6 i 2/6. Mają one ten sam mianownik, więc możemy je łatwo porównać. Widzimy, że 3 jest większe od 2, więc 3/6 jest większe od 2/6. Czyli 1/2 jest większe od 1/3.

Spróbujmy z bardziej skomplikowanym przykładem. Powiedzmy, że mamy ułamki 3/4 i 5/6.

Szukamy wspólnego mianownika dla 4 i 6. Może to być na przykład 12.

Ułamek 3/4: Zastanawiamy się, przez ile musimy pomnożyć 4, żeby otrzymać 12? Odpowiedź to 3. Mnożymy licznik i mianownik przez 3: (3 * 3) / (4 * 3) = 9/12.

Ułamek 5/6: Zastanawiamy się, przez ile musimy pomnożyć 6, żeby otrzymać 12? Odpowiedź to 2. Mnożymy licznik i mianownik przez 2: (5 * 2) / (6 * 2) = 10/12.

Teraz porównujemy 9/12 i 10/12. Widzimy, że 10 jest większe od 9, więc 10/12 jest większe od 9/12. Czyli 5/6 jest większe od 3/4.

Jak znaleźć wspólny mianownik?

Najprostszą metodą jest szukanie najmniejszej wspólnej wielokrotności (NWW) mianowników. Można to zrobić, wypisując wielokrotności każdego mianownika, aż znajdziemy wspólną liczbę. Na przykład, dla mianowników 4 i 6:

Wielokrotności 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24...
Wielokrotności 6: 6, 12, 18, 24, 30...

Widzimy, że najmniejszą wspólną wielokrotnością jest 12.

Innym sposobem jest rozłożenie mianowników na czynniki pierwsze i znalezienie NWW na podstawie tych czynników. Ale na początek, trzymajmy się pierwszej metody, jest ona bardziej intuicyjna.

Przejdźmy do kolejnego przykładu, aby utrwalić wiedzę. Porównajmy ułamki 2/5 i 3/7.

Szukamy wspólnego mianownika dla 5 i 7. Ponieważ 5 i 7 są liczbami pierwszymi, ich najmniejsza wspólna wielokrotność to po prostu ich iloczyn, czyli 5 * 7 = 35.

Ułamek 2/5: Zastanawiamy się, przez ile musimy pomnożyć 5, żeby otrzymać 35? Odpowiedź to 7. Mnożymy licznik i mianownik przez 7: (2 * 7) / (5 * 7) = 14/35.

Ułamek 3/7: Zastanawiamy się, przez ile musimy pomnożyć 7, żeby otrzymać 35? Odpowiedź to 5. Mnożymy licznik i mianownik przez 5: (3 * 5) / (7 * 5) = 15/35.

Teraz porównujemy 14/35 i 15/35. Widzimy, że 15 jest większe od 14, więc 15/35 jest większe od 14/35. Czyli 3/7 jest większe od 2/5.

Czasami możemy uprościć ułamki przed sprowadzeniem do wspólnego mianownika. To może ułatwić nam pracę. Na przykład, załóżmy, że mamy ułamki 4/8 i 1/3.

Zauważmy, że ułamek 4/8 można uprościć. Zarówno licznik, jak i mianownik dzielą się przez 4. Dzielimy więc licznik i mianownik przez 4: (4 / 4) / (8 / 4) = 1/2.

Teraz mamy ułamki 1/2 i 1/3. Już je porównywaliśmy wcześniej! Wiemy, że 1/2 jest większe od 1/3.

Kolejny przykład z upraszczaniem. Porównajmy ułamki 6/9 i 2/3.

Zauważmy, że ułamek 6/9 można uprościć. Zarówno licznik, jak i mianownik dzielą się przez 3. Dzielimy więc licznik i mianownik przez 3: (6 / 3) / (9 / 3) = 2/3.

Teraz mamy ułamki 2/3 i 2/3. Są one równe!

Sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika jest szczególnie przydatne, gdy mamy więcej niż dwa ułamki do porównania. Na przykład, chcemy porównać ułamki 1/2, 2/3 i 3/4.

Szukamy wspólnego mianownika dla 2, 3 i 4. Najmniejszą wspólną wielokrotnością jest 12.

Ułamek 1/2: Musimy pomnożyć 2 przez 6, żeby otrzymać 12. Więc mnożymy licznik i mianownik przez 6: (1 * 6) / (2 * 6) = 6/12.

Ułamek 2/3: Musimy pomnożyć 3 przez 4, żeby otrzymać 12. Więc mnożymy licznik i mianownik przez 4: (2 * 4) / (3 * 4) = 8/12.

Ułamek 3/4: Musimy pomnożyć 4 przez 3, żeby otrzymać 12. Więc mnożymy licznik i mianownik przez 3: (3 * 3) / (4 * 3) = 9/12.

Teraz mamy ułamki 6/12, 8/12 i 9/12. Możemy łatwo je porównać. Najmniejszy jest 6/12, potem 8/12, a największy 9/12. Czyli najmniejszy jest 1/2, potem 2/3, a największy 3/4.

Pamiętaj, żeby zawsze szukać najmniejszego wspólnego mianownika. Ułatwi to obliczenia i zmniejszy ryzyko popełnienia błędu. Na przykład, porównajmy ułamki 1/4 i 1/6. Moglibyśmy sprowadzić je do mianownika 24 (4 * 6), ale lepiej jest znaleźć NWW, która wynosi 12.

Ułamek 1/4: Mnożymy licznik i mianownik przez 3: (1 * 3) / (4 * 3) = 3/12.

Ułamek 1/6: Mnożymy licznik i mianownik przez 2: (1 * 2) / (6 * 2) = 2/12.

Teraz widzimy, że 3/12 jest większe od 2/12, czyli 1/4 jest większe od 1/6. Użycie mniejszego mianownika (12 zamiast 24) ułatwiło nam pracę.

Podsumowując, sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika to bardzo przydatna technika, która pozwala łatwo porównywać ułamki. Pamiętaj, żeby szukać najmniejszego wspólnego mianownika i upraszczać ułamki, jeśli to możliwe. Powodzenia!