Pole Powierzchni Całkowitej Prostopadłościanu Jest Równe 198

Rozważmy prostopadłościan. Pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu wynosi 198. Chcemy zrozumieć, co to oznacza i jakie wnioski możemy z tego wyciągnąć.

Prostopadłościan to graniastosłup prosty, którego podstawą jest prostokąt. Ma sześć ścian, wszystkie będące prostokątami. Przeciwległe ściany są identyczne. Oznaczmy długości krawędzi prostopadłościanu jako a, b i c. Wtedy pole powierzchni całkowitej (Pc) wyraża się wzorem:

Pc = 2ab + 2ac + 2bc

W naszym przypadku Pc = 198. Stąd:

2ab + 2ac + 2bc = 198

ab + ac + bc = 99

To równanie daje nam pewne informacje, ale nie pozwala jednoznacznie określić długości krawędzi a, b i c. Mamy jedno równanie z trzema niewiadomymi, więc potrzebujemy dodatkowych informacji, aby znaleźć konkretne wartości a, b i c.

Spróbujmy znaleźć kilka przykładowych rozwiązań.

Załóżmy, że a = 1. Wtedy równanie upraszcza się do:

b + c + bc = 99

bc + b + c + 1 = 100

(b + 1)(c + 1) = 100

Teraz szukamy par liczb, których iloczyn wynosi 100. Możliwe pary to: (1, 100), (2, 50), (4, 25), (5, 20), (10, 10).

Dla (1, 100): b + 1 = 1, c + 1 = 100 => b = 0, c = 99. To rozwiązanie jest niemożliwe, ponieważ długość krawędzi musi być dodatnia.

Dla (2, 50): b + 1 = 2, c + 1 = 50 => b = 1, c = 49. Zatem a = 1, b = 1, c = 49 jest jednym z rozwiązań.

Dla (4, 25): b + 1 = 4, c + 1 = 25 => b = 3, c = 24. Zatem a = 1, b = 3, c = 24 jest kolejnym rozwiązaniem.

Dla (5, 20): b + 1 = 5, c + 1 = 20 => b = 4, c = 19. Zatem a = 1, b = 4, c = 19 jest jeszcze jednym rozwiązaniem.

Dla (10, 10): b + 1 = 10, c + 1 = 10 => b = 9, c = 9. Zatem a = 1, b = 9, c = 9 jest rozwiązaniem.

Widzimy, że istnieje wiele rozwiązań, gdy a = 1.

Załóżmy teraz, że a = 2. Wtedy równanie staje się:

2b + 2c + bc = 99

bc + 2b + 2c = 99

bc + 2b + 2c + 4 = 103

(b + 2)(c + 2) = 103

103 jest liczbą pierwszą, więc jedynymi możliwościami są (1, 103) oraz (103, 1).

Dla (1, 103): b + 2 = 1, c + 2 = 103 => b = -1, c = 101. To rozwiązanie jest niemożliwe, ponieważ długość krawędzi musi być dodatnia.

Dla (103, 1): b + 2 = 103, c + 2 = 1 => b = 101, c = -1. To rozwiązanie również jest niemożliwe.

Zatem nie ma rozwiązań dla a = 2, gdzie b i c są liczbami dodatnimi całkowitymi.

Załóżmy, że a = 3. Wtedy:

3b + 3c + bc = 99

bc + 3b + 3c = 99

bc + 3b + 3c + 9 = 108

(b + 3)(c + 3) = 108

Teraz musimy znaleźć pary liczb, których iloczyn wynosi 108. Możliwe pary to: (1, 108), (2, 54), (3, 36), (4, 27), (6, 18), (9, 12).

Dla (1, 108): b + 3 = 1, c + 3 = 108 => b = -2, c = 105. Niemożliwe.

Dla (2, 54): b + 3 = 2, c + 3 = 54 => b = -1, c = 51. Niemożliwe.

Dla (3, 36): b + 3 = 3, c + 3 = 36 => b = 0, c = 33. Niemożliwe.

Dla (4, 27): b + 3 = 4, c + 3 = 27 => b = 1, c = 24. Zatem a = 3, b = 1, c = 24.

Dla (6, 18): b + 3 = 6, c + 3 = 18 => b = 3, c = 15. Zatem a = 3, b = 3, c = 15.

Dla (9, 12): b + 3 = 9, c + 3 = 12 => b = 6, c = 9. Zatem a = 3, b = 6, c = 9.

Mamy kolejne rozwiązania. Widzimy, że z każdym kolejnym założonym 'a', rachunki stają się bardziej skomplikowane.

Wnioski dotyczące pola powierzchni

Warto zauważyć, że pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest miarą jego "rozmiaru zewnętrznego". Dwa prostopadłościany o różnym kształcie (różnych wymiarach a, b, c) mogą mieć to samo pole powierzchni całkowitej. Na przykład, znaleźliśmy wcześniej rozwiązania:

a = 1, b = 1, c = 49
a = 1, b = 3, c = 24
a = 1, b = 4, c = 19
a = 1, b = 9, c = 9
a = 3, b = 1, c = 24
a = 3, b = 3, c = 15
a = 3, b = 6, c = 9

Wszystkie te prostopadłościany mają pole powierzchni całkowitej równe 198, ale ich wymiary są różne. To pokazuje, że pole powierzchni nie definiuje jednoznacznie prostopadłościanu. Potrzebujemy więcej informacji, np. długości dwóch krawędzi.

Zastosowanie w praktyce

W praktyce, znajomość pola powierzchni całkowitej prostopadłościanu może być przydatna w różnych sytuacjach. Na przykład, jeśli chcemy pomalować pudełko w kształcie prostopadłościanu, pole powierzchni całkowitej powie nam, ile farby potrzebujemy. Jeśli chcemy okleić pudełko papierem, pole powierzchni całkowitej powie nam, ile papieru potrzebujemy. Znajomość pola powierzchni jest również ważna w obliczeniach związanych z ciepłem i przepływem powietrza, na przykład przy projektowaniu budynków.

Innym przykładem jest optymalizacja kosztów produkcji. Jeśli produkujemy pudełka o danej objętości, możemy próbować znaleźć takie wymiary, które minimalizują pole powierzchni całkowitej, co z kolei minimalizuje zużycie materiałów i koszty produkcji.

Podsumowując, informacja, że pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu wynosi 198, daje nam pewne informacje o jego wymiarach, ale nie definiuje go jednoznacznie. Potrzebujemy dodatkowych danych, aby móc określić konkretne długości krawędzi. Z drugiej strony, znając pole powierzchni całkowitej, możemy dokonywać obliczeń związanych z malowaniem, oklejaniem, przepływem ciepła i optymalizacją kosztów.