Odejmowanie Ułamków Zwykłych O Tych Samych Mianownikach

Odejmowanie ułamków zwykłych o tych samych mianownikach jest jedną z podstawowych operacji arytmetycznych, z którą spotykamy się na wczesnym etapie edukacji matematycznej. Zrozumienie tej operacji jest kluczowe do dalszego zgłębiania bardziej skomplikowanych zagadnień związanych z ułamkami. Jest to fundament, na którym buduje się wiedzę o dodawaniu, mnożeniu i dzieleniu ułamków, a także o rozwiązywaniu równań i nierówności z ułamkami.

Zacznijmy od prostego przykładu. Mamy dwa ułamki: 5/7 i 2/7. Oba ułamki mają ten sam mianownik, czyli 7. To oznacza, że oba ułamki reprezentują części tej samej całości, podzielonej na siedem równych części. Chcemy obliczyć różnicę między tymi ułamkami, czyli 5/7 - 2/7.

W takim przypadku, gdy mianowniki są identyczne, wystarczy odjąć liczniki od siebie, a mianownik pozostaje bez zmian. Zatem, 5/7 - 2/7 = (5-2)/7 = 3/7. Wynik to 3/7. Oznacza to, że jeśli od pięciu siódmych części całości odejmiemy dwie siódme części, to zostaną nam trzy siódme części.

Rozważmy kolejny przykład: 9/11 - 4/11. Ponownie, mianowniki są identyczne, wynoszą 11. Odejmujemy liczniki: 9 - 4 = 5. Mianownik pozostaje bez zmian, czyli 11. Zatem, 9/11 - 4/11 = 5/11.

Co zrobić, jeśli odejmowany ułamek jest większy od ułamka, od którego odejmujemy? Na przykład, 3/8 - 5/8. W tym przypadku, wynik będzie liczbą ujemną. Odejmujemy liczniki: 3 - 5 = -2. Mianownik pozostaje bez zmian, czyli 8. Zatem, 3/8 - 5/8 = -2/8. Wynik to -2/8. Możemy uprościć ten ułamek dzieląc licznik i mianownik przez 2, otrzymując -1/4.

Inny przykład, tym razem bardziej złożony: 12/15 - 7/15. Mianowniki są takie same, czyli 15. Odejmujemy liczniki: 12 - 7 = 5. Mianownik pozostaje bez zmian, czyli 15. Zatem, 12/15 - 7/15 = 5/15. Wynik to 5/15. Teraz możemy uprościć ten ułamek. Zarówno 5, jak i 15 dzielą się przez 5. Dzieląc licznik i mianownik przez 5, otrzymujemy 1/3. Zatem, 5/15 = 1/3.

Jeszcze jeden przykład: 17/20 - 3/20. Mianowniki są równe 20. Odejmujemy liczniki: 17 - 3 = 14. Mianownik zostaje bez zmian, czyli 20. Zatem, 17/20 - 3/20 = 14/20. Możemy uprościć ten ułamek. Zarówno 14, jak i 20 dzielą się przez 2. Dzieląc licznik i mianownik przez 2, otrzymujemy 7/10. Zatem, 14/20 = 7/10.

Rozważmy teraz przykład z liczbami mieszanymi. Załóżmy, że mamy 3 2/5 - 1 1/5. Możemy rozwiązać to na dwa sposoby. Pierwszy sposób polega na zamianie liczb mieszanych na ułamki niewłaściwe. 3 2/5 = (35 + 2)/5 = 17/5. 1 1/5 = (15 + 1)/5 = 6/5. Teraz możemy odjąć ułamki: 17/5 - 6/5 = (17-6)/5 = 11/5. Wynik to 11/5. Możemy zamienić ten ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną: 11/5 = 2 1/5. Zatem, 3 2/5 - 1 1/5 = 2 1/5.

Drugi sposób polega na oddzielnym odjęciu części całkowitych i ułamkowych. 3 2/5 - 1 1/5 = (3-1) + (2/5 - 1/5) = 2 + 1/5 = 2 1/5. Oba sposoby dają ten sam wynik.

Co zrobić, jeśli mamy do odjęcia liczbę mieszaną od ułamka właściwego? Na przykład, 5/9 - 2 1/9. Najpierw zamieniamy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy: 2 1/9 = (2*9 + 1)/9 = 19/9. Teraz mamy 5/9 - 19/9 = (5-19)/9 = -14/9. Wynik to -14/9. Możemy zamienić ten ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną: -14/9 = -1 5/9. Zatem, 5/9 - 2 1/9 = -1 5/9.

Przykłady z życia codziennego

Odejmowanie ułamków o tych samych mianownikach ma wiele zastosowań w życiu codziennym. Wyobraźmy sobie, że pieczemy pizzę i kroimy ją na 8 równych kawałków. Jeśli zjemy 3 kawałki, to zjedliśmy 3/8 pizzy. Jeśli ktoś inny zje 2 kawałki, to zjadł 2/8 pizzy. Ile pizzy zostało? Zaczęliśmy z 8/8 pizzy. Zjedliśmy 3/8 + 2/8 = 5/8 pizzy. Zostało 8/8 - 5/8 = 3/8 pizzy.

Inny przykład. Mamy 1 litr soku pomarańczowego. Wypiliśmy 2/5 litra. Ile soku zostało? Zaczęliśmy z 5/5 litra soku. Wypiliśmy 2/5 litra. Zostało 5/5 - 2/5 = 3/5 litra soku.

Kolejny przykład. Mamy 1 metr tasiemki. Użyliśmy 3/7 metra do ozdobienia prezentu. Ile tasiemki nam zostało? Zaczęliśmy z 7/7 metra tasiemki. Użyliśmy 3/7 metra. Zostało 7/7 - 3/7 = 4/7 metra tasiemki.

Ćwiczenia praktyczne

Aby utrwalić wiedzę, warto rozwiązać kilka ćwiczeń.

7/10 - 2/10 = ?
11/13 - 5/13 = ?
4/9 - 7/9 = ?
15/16 - 9/16 = ?
2 3/4 - 1 1/4 = ?
1/5 - 1 2/5 = ?

Rozwiązania:

7/10 - 2/10 = 5/10 = 1/2
11/13 - 5/13 = 6/13
4/9 - 7/9 = -3/9 = -1/3
15/16 - 9/16 = 6/16 = 3/8
2 3/4 - 1 1/4 = 1 2/4 = 1 1/2
1/5 - 1 2/5 = 1/5 - 7/5 = -6/5 = -1 1/5

Pamiętaj, że kluczem do sukcesu jest regularna praktyka. Im więcej ćwiczeń rozwiążesz, tym lepiej zrozumiesz odejmowanie ułamków o tych samych mianownikach. A opanowanie tej umiejętności jest niezbędne do dalszej nauki matematyki.