Odczytaj Z Wykresu Funkcji F Jej Dziedzinę I Zbiór Wartości

Zacznijmy naszą przygodę z odczytywaniem dziedziny i zbioru wartości funkcji z wykresu! Wyobraź sobie wykres jako mapę, która pokazuje, jak zmienia się wartość funkcji w zależności od jej argumentu. Dziedzina to zbiór wszystkich możliwych "punktów startowych" na tej mapie (argumentów funkcji), a zbiór wartości to zbiór wszystkich możliwych "punktów docelowych" (wartości funkcji, które możemy osiągnąć).

Na początek spójrzmy na oś OX (oś odciętych) – to nasza oś argumentów, czyli "punktów startowych". Dziedzina funkcji to po prostu wszystkie wartości, które możemy wstawić za x, żeby funkcja miała sens. Inaczej mówiąc, to wszystkie liczby, dla których wykres funkcji "istnieje" wzdłuż osi OX.

Przyjrzyjmy się kilku przykładom. Załóżmy, że mamy wykres, który zaczyna się na osi OX w punkcie x = -3 i biegnie w prawo, aż do x = 5, gdzie się kończy. Oznacza to, że funkcja jest zdefiniowana tylko dla x od -3 do 5. Zapisujemy to jako dziedzinę: D = [-3, 5]. Nawiasy kwadratowe oznaczają, że punkty -3 i 5 należą do dziedziny. Gdyby na końcach wykresu były "puste kółka", oznaczałoby to, że te punkty nie należą do dziedziny, i użylibyśmy nawiasów okrągłych: D = (-3, 5).

Teraz wyobraź sobie, że wykres funkcji rozciąga się w nieskończoność w obie strony osi OX. W takim przypadku dziedzina to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, co zapisujemy jako D = R lub D = (-∞, +∞).

Kolejny przykład: wykres ma przerwę w punkcie x = 2. Oznacza to, że nie możemy wstawić 2 do funkcji, bo w tym punkcie funkcja nie jest zdefiniowana. Dziedzinę zapiszemy wtedy jako D = (-∞, 2) ∪ (2, +∞). Symbol ∪ oznacza "sumę zbiorów".

A co jeśli wykres funkcji ma "pionową asymptotę" w punkcie x = 1? Pionowa asymptota to linia, do której wykres funkcji zbliża się nieskończenie blisko, ale nigdy jej nie dotyka. W takim przypadku punkt x = 1 nie należy do dziedziny, a dziedzinę zapisujemy jako D = (-∞, 1) ∪ (1, +∞).

Pamiętaj, żeby zwracać uwagę na wszystkie "dziury", przerwy, asymptoty i końce wykresu na osi OX – to one decydują o tym, jaka jest dziedzina funkcji.

A teraz przejdźmy do zbioru wartości.

Zbiór wartości to zbiór wszystkich możliwych wartości, jakie funkcja może przyjąć. Aby go odczytać z wykresu, musimy spojrzeć na oś OY (oś rzędnych). Patrzymy, "od jakiej do jakiej" wysokości sięga wykres funkcji.

Załóżmy, że wykres funkcji zaczyna się na osi OY w punkcie y = 1 i biegnie w górę, aż do y = 7, gdzie się kończy. Oznacza to, że wartości funkcji zawierają się w przedziale od 1 do 7. Zapisujemy to jako zbiór wartości: ZW = [1, 7]. Podobnie jak w przypadku dziedziny, nawiasy kwadratowe oznaczają, że punkty 1 i 7 należą do zbioru wartości, a nawiasy okrągłe oznaczają, że nie należą.

Jeśli wykres funkcji rozciąga się w nieskończoność w górę i w dół osi OY, to zbiór wartości to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, czyli ZW = R lub ZW = (-∞, +∞).

A co jeśli wykres funkcji ma "poziomą asymptotę" w punkcie y = 3? Pozioma asymptota to linia, do której wykres funkcji zbliża się nieskończenie blisko, gdy x dąży do nieskończoności (lub minus nieskończoności), ale nigdy jej nie dotyka. W takim przypadku wartość y = 3 nie należy do zbioru wartości, a zbiór wartości zapisujemy jako ZW = (-∞, 3) ∪ (3, +∞).

Wyobraź sobie, że wykres funkcji wygląda jak parabola z wierzchołkiem w punkcie (0, -2) i ramionami skierowanymi do góry. Najniższa wartość, jaką funkcja przyjmuje, to -2, a następnie wartości rosną w nieskończoność. Zatem zbiór wartości to ZW = [-2, +∞).

Podsumowując, żeby odczytać zbiór wartości funkcji z wykresu, musimy spojrzeć na oś OY i sprawdzić, jakie wartości "pokrywa" wykres. Zwracamy uwagę na końce wykresu, asymptoty i wszelkie inne "ograniczenia" w pionie.

Ćwiczenia praktyczne

Spróbujmy teraz przećwiczyć odczytywanie dziedziny i zbioru wartości na konkretnych przykładach.

Wykres liniowy: Wyobraź sobie prostą linię, która biegnie przez całą kartkę, od lewej do prawej i od góry do dołu. W takim przypadku zarówno dziedzina, jak i zbiór wartości to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych: D = R i ZW = R.
Wykres funkcji kwadratowej: Wyobraź sobie parabolę z ramionami skierowanymi do dołu. Załóżmy, że wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie (1, 4). Dziedzina to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych: D = R. Zbiór wartości to przedział od minus nieskończoności do 4 (włącznie): ZW = (-∞, 4].
Wykres funkcji wymiernej: Wyobraź sobie wykres funkcji f(x) = 1/x. Funkcja ta ma pionową asymptotę w punkcie x = 0 i poziomą asymptotę w punkcie y = 0. Zatem dziedzina to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem zera: D = (-∞, 0) ∪ (0, +∞). Podobnie, zbiór wartości to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem zera: ZW = (-∞, 0) ∪ (0, +∞).
Wykres funkcji pierwiastkowej: Wyobraź sobie wykres funkcji f(x) = √x. Funkcja ta jest zdefiniowana tylko dla liczb nieujemnych. Zatem dziedzina to D = [0, +∞). Zbiór wartości również jest zbiorem liczb nieujemnych: ZW = [0, +∞).
Wykres funkcji zdefiniowanej przedziałami: Wyobraź sobie wykres, który składa się z dwóch odcinków: odcinek pierwszy to linia prosta od punktu (-2, 1) do punktu (0, 3), a odcinek drugi to parabola z wierzchołkiem w punkcie (2, 1) i ramionami skierowanymi do góry, zaczynająca się w punkcie (0, 3). Dziedzina to przedział od -2 do plus nieskończoności: D = [-2, +∞). Zbiór wartości to przedział od 1 do plus nieskończoności: ZW = [1, +∞).

Najczęstsze błędy

Pamiętaj, żeby unikać następujących błędów podczas odczytywania dziedziny i zbioru wartości z wykresu:

Ignorowanie przerw i dziur w wykresie: Zwróć uwagę na wszystkie punkty, w których funkcja nie jest zdefiniowana.
Mylenie dziedziny ze zbiorem wartości: Pamiętaj, że dziedzina odnosi się do osi OX, a zbiór wartości do osi OY.
Nieprawidłowe używanie nawiasów: Używaj nawiasów kwadratowych, gdy punkt należy do dziedziny lub zbioru wartości, a nawiasów okrągłych, gdy punkt nie należy.
Zapominanie o asymptotach: Asymptoty wskazują na wartości, których funkcja nigdy nie osiąga.
Nie uwzględnianie nieskończoności: Jeśli wykres funkcji rozciąga się w nieskończoność, uwzględnij to w zapisie dziedziny i zbioru wartości.

Pamiętaj, że praktyka czyni mistrza! Im więcej wykresów przeanalizujesz, tym łatwiej będzie Ci odczytywać z nich dziedzinę i zbiór wartości. Powodzenia!