Oblicz Współczynnik Kierunkowy Prostej Prostopadłej Do Podanej Prostej

Dobrze, rozumiem. Poniżej znajduje się artykuł, który odpowiada na pytanie o obliczanie współczynnika kierunkowego prostej prostopadłej do danej prostej, z uwzględnieniem wszystkich podanych wytycznych.

Aby obliczyć współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do innej prostej, należy najpierw ustalić współczynnik kierunkowy danej prostej. Załóżmy, że mamy daną prostą o współczynniku kierunkowym a. Prosta prostopadła do niej będzie miała współczynnik kierunkowy, który jest odwrotnością liczby a ze zmienionym znakiem. Oznacza to, że współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej, oznaczmy go jako a', będzie równy -1/a.

Krok po kroku: Znajdowanie Współczynnika Kierunkowego Prostej Prostopadłej

1. Zidentyfikuj współczynnik kierunkowy danej prostej. Dana prosta musi być wyrażona w formie, która umożliwia odczytanie współczynnika kierunkowego. Najczęściej spotykane formy to:

   • Równanie kierunkowe prostej: y = ax + b, gdzie a jest współczynnikiem kierunkowym.

   • Równanie ogólne prostej: Ax + By + C = 0. W tym przypadku, aby znaleźć współczynnik kierunkowy, należy przekształcić równanie do postaci kierunkowej. Współczynnik kierunkowy a obliczamy wtedy jako a = -A/B.

   • Dwa punkty na prostej: Jeśli mamy dane dwa punkty, przez które przechodzi prosta, na przykład (x1, y1) i (x2, y2), współczynnik kierunkowy a obliczamy ze wzoru: a = (y2 - y1) / (x2 - x1). Pamiętaj, że x1 nie może być równe x2 (prosta pionowa nie ma współczynnika kierunkowego w tradycyjnym sensie).

2. Oblicz odwrotność współczynnika kierunkowego danej prostej. Znajdź liczbę odwrotną do a, czyli 1/a. Jeśli a jest ułamkiem, po prostu zamień licznik z mianownikiem. Na przykład, jeśli a = 2/3, to 1/a = 3/2.

3. Zmień znak odwrotności. Pomnóż odwrotność przez -1. Jeśli 1/a jest dodatnie, zmień znak na ujemny. Jeśli 1/a jest ujemne, zmień znak na dodatni. Otrzymasz w ten sposób -1/a.

4. Wynik: Otrzymana wartość -1/a jest współczynnikiem kierunkowym prostej prostopadłej do danej prostej.

Przykłady Obliczeniowe

• Przykład 1:

  Dana prosta ma równanie y = 3x + 5. Współczynnik kierunkowy danej prostej to a = 3.

  1. Odwrotność a wynosi 1/3.

  2. Zmieniamy znak: -1/3.

  Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej to -1/3. Równanie prostej prostopadłej (przechodzącej np. przez punkt (0,0)) to y = (-1/3)x.

• Przykład 2:

  Dana prosta ma równanie 2x + 4y - 8 = 0.

  1. Przekształcamy do postaci kierunkowej: 4y = -2x + 8, a następnie y = (-1/2)x + 2. Współczynnik kierunkowy danej prostej to a = -1/2.

  2. Odwrotność a wynosi -2 (lub -2/1).

  3. Zmieniamy znak: 2.

  Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej to 2. Równanie prostej prostopadłej (przechodzącej np. przez punkt (0,0)) to y = 2x.

• Przykład 3:

  Dana prosta przechodzi przez punkty (1, 2) i (3, 6).

  1. Obliczamy współczynnik kierunkowy: a = (6 - 2) / (3 - 1) = 4 / 2 = 2.

  2. Odwrotność a wynosi 1/2.

  3. Zmieniamy znak: -1/2.

  Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej to -1/2.

• Przykład 4:

  Dana prosta ma równanie y = -5x + 1. Współczynnik kierunkowy danej prostej to a = -5.

  1. Odwrotność a wynosi -1/5.

  2. Zmieniamy znak: 1/5.

  Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej to 1/5.

Szczególne Przypadki

• Prosta pozioma: Prosta pozioma ma współczynnik kierunkowy równy 0 (y = b). Prosta prostopadła do prostej poziomej jest prostą pionową. Prosta pionowa nie ma współczynnika kierunkowego w tradycyjnym sensie (jej równanie to x = c, gdzie c jest stałą). Współczynnik kierunkowy "dąży do nieskończoności".

• Prosta pionowa: Prosta pionowa nie ma współczynnika kierunkowego (jej równanie to x = c). Prosta prostopadła do prostej pionowej jest prostą poziomą (y = b), która ma współczynnik kierunkowy równy 0.

Dlaczego to działa?

Warunek prostopadłości dwóch prostych o współczynnikach kierunkowych a i a' można zapisać jako a * a' = -1. Przekształcając to równanie, otrzymujemy a' = -1/a. To wyjaśnia, dlaczego obliczamy odwrotność współczynnika kierunkowego i zmieniamy jego znak. Mnożąc współczynnik kierunkowy danej prostej przez współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej, zawsze otrzymamy -1. Jest to fundamentalna zasada geometrii analitycznej.

Podsumowanie

Obliczanie współczynnika kierunkowego prostej prostopadłej jest prostym procesem, który wymaga jedynie zidentyfikowania współczynnika kierunkowego danej prostej, obliczenia jego odwrotności i zmiany znaku. Pamiętaj o szczególnych przypadkach, takich jak proste poziome i pionowe. Zrozumienie tej zasady jest kluczowe w wielu zadaniach z geometrii analitycznej, takich jak znajdowanie równań prostych prostopadłych, obliczanie odległości punktu od prostej, czy analiza właściwości figur geometrycznych. Dokładne wykonywanie każdego kroku z osobna minimalizuje ryzyko błędu, co jest szczególnie ważne na egzaminach.