Oblicz Wartosci Pozostalych Funkcji Trygonometrycznych Kata Ostrego A Jesli

Dobrze, uczniowie, przyjrzyjmy się zagadnieniu obliczania wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego A, mając daną wartość jednej z nich. Pamiętajcie, że kluczem do sukcesu jest zrozumienie definicji funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym oraz znajomość podstawowych tożsamości trygonometrycznych.
Załóżmy, że mamy kąt ostry A w trójkącie prostokątnym. Oznaczmy boki trójkąta następująco: a - bok przeciwległy do kąta A, b - bok przyległy do kąta A, c - przeciwprostokątna. Funkcje trygonometryczne kąta A definiujemy następująco:
- sin(A) = a/c
- cos(A) = b/c
- tg(A) = a/b
- ctg(A) = b/a
Pamiętajmy również o tożsamości trygonometrycznej, która jest niezwykle przydatna: sin²(A) + cos²(A) = 1. Dodatkowo, tg(A) = sin(A) / cos(A) oraz ctg(A) = cos(A) / sin(A) = 1/tg(A).
Rozważmy przypadek, gdy znamy wartość sinusa kąta A: sin(A) = x, gdzie 0 < x < 1.
Z definicji sinusa wiemy, że x = a/c. Możemy przyjąć, że a = x oraz c = 1. Teraz musimy wyznaczyć b. Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa: a² + b² = c². Podstawiając nasze wartości, otrzymujemy: x² + b² = 1². Stąd, b² = 1 - x², a zatem b = √(1 - x²).
Teraz możemy obliczyć pozostałe funkcje trygonometryczne:
- cos(A) = b/c = √(1 - x²) / 1 = √(1 - x²)
- tg(A) = a/b = x / √(1 - x²) = x√(1 - x²) / (1 - x²) (po usunięciu niewymierności z mianownika)
- ctg(A) = b/a = √(1 - x²) / x = √(1 - x²) * x / x² (po usunięciu niewymierności z mianownika)
Przykład: Załóżmy, że sin(A) = 3/5. Wtedy:
- cos(A) = √(1 - (3/5)²) = √(1 - 9/25) = √(16/25) = 4/5
- tg(A) = (3/5) / (4/5) = 3/4
- ctg(A) = (4/5) / (3/5) = 4/3
Rozważmy przypadek, gdy znamy wartość cosinusa kąta A: cos(A) = y, gdzie 0 < y < 1.
Z definicji cosinusa wiemy, że y = b/c. Możemy przyjąć, że b = y oraz c = 1. Teraz musimy wyznaczyć a. Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa: a² + b² = c². Podstawiając nasze wartości, otrzymujemy: a² + y² = 1². Stąd, a² = 1 - y², a zatem a = √(1 - y²).
Teraz możemy obliczyć pozostałe funkcje trygonometryczne:
- sin(A) = a/c = √(1 - y²) / 1 = √(1 - y²)
- tg(A) = a/b = √(1 - y²) / y = √(1 - y²) * y / y² (po usunięciu niewymierności z mianownika)
- ctg(A) = b/a = y / √(1 - y²) = y√(1 - y²) / (1 - y²) (po usunięciu niewymierności z mianownika)
Przykład: Załóżmy, że cos(A) = 5/13. Wtedy:
- sin(A) = √(1 - (5/13)²) = √(1 - 25/169) = √(144/169) = 12/13
- tg(A) = (12/13) / (5/13) = 12/5
- ctg(A) = (5/13) / (12/13) = 5/12
Rozważmy przypadek, gdy znamy wartość tangensa kąta A: tg(A) = z, gdzie z > 0.
Z definicji tangensa wiemy, że z = a/b. Możemy przyjąć, że a = z oraz b = 1. Teraz musimy wyznaczyć c. Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa: a² + b² = c². Podstawiając nasze wartości, otrzymujemy: z² + 1² = c². Stąd, c² = z² + 1, a zatem c = √(z² + 1).
Teraz możemy obliczyć pozostałe funkcje trygonometryczne:
- sin(A) = a/c = z / √(z² + 1) = z√(z² + 1) / (z² + 1) (po usunięciu niewymierności z mianownika)
- cos(A) = b/c = 1 / √(z² + 1) = √(z² + 1) / (z² + 1) (po usunięciu niewymierności z mianownika)
- ctg(A) = b/a = 1/z
Przykład: Załóżmy, że tg(A) = 2. Wtedy:
- sin(A) = 2 / √(2² + 1) = 2 / √5 = 2√5 / 5
- cos(A) = 1 / √(2² + 1) = 1 / √5 = √5 / 5
- ctg(A) = 1/2
Rozważmy przypadek, gdy znamy wartość cotangensa kąta A: ctg(A) = w, gdzie w > 0.
Z definicji cotangensa wiemy, że w = b/a. Możemy przyjąć, że b = w oraz a = 1. Teraz musimy wyznaczyć c. Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa: a² + b² = c². Podstawiając nasze wartości, otrzymujemy: 1² + w² = c². Stąd, c² = 1 + w², a zatem c = √(1 + w²).
Teraz możemy obliczyć pozostałe funkcje trygonometryczne:
- sin(A) = a/c = 1 / √(1 + w²) = √(1 + w²) / (1 + w²) (po usunięciu niewymierności z mianownika)
- cos(A) = b/c = w / √(1 + w²) = w√(1 + w²) / (1 + w²) (po usunięciu niewymierności z mianownika)
- tg(A) = a/b = 1/w
Przykład: Załóżmy, że ctg(A) = √3. Wtedy:
- sin(A) = 1 / √(1 + (√3)²) = 1 / √(1 + 3) = 1 / √4 = 1/2
- cos(A) = √3 / √(1 + (√3)²) = √3 / √4 = √3 / 2
- tg(A) = 1/√3 = √3 / 3
Podsumowując, mając daną jedną z funkcji trygonometrycznych kąta ostrego, możemy wyznaczyć pozostałe, korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym, twierdzenia Pitagorasa oraz podstawowych tożsamości trygonometrycznych. Pamiętajcie o odpowiednim doborze wartości a, b i c w oparciu o daną funkcję i zastosowanie twierdzenia Pitagorasa do wyznaczenia brakującego boku. Następnie, po prostu podstawcie te wartości do definicji pozostałych funkcji. Ćwiczenia czynią mistrza, więc rozwiązujcie jak najwięcej przykładów, aby utrwalić tę wiedzę.









Podobne artykuły, które mogą Cię zainteresować
- Pręciki I Czopki To Komórki światłoczułe Które Znajdują Się W
- Czy Biblia żyje Rozważ Problem I Uzasadnij Swoje Zdanie
- Historia I Społeczeństwo Wojna I Wojskowość Nowa Era Pdf
- Instrumenty Takie Jak Talerze Gongi Marakasy Kastaniety
- Kiedy I Gdzie Należy Szukać Skarbu Przygody Tomka Sawyera
- Ziemie Utracone Przez Niemcy Po Ii Wojnie światowej
- Wykonaj Polecenia Na Podstawie Tekstu Mapy Oraz Innych źródeł Informacji
- Miejsce Wschodu I Zachodu Słońca W Pierwszym Dniu Lata
- Sprawdzian Z Matematyki Klasa 4 Figury Geometryczne Część 1 Pdf
- Dlaczego 11 Listopada 1918 Został Uznany Za Datę Odzyskania Niepodległości