Oblicz Wartosci Pozostalych Funkcji Trygonometrycznych Kata Ostrego A Jesli
Dobrze, uczniowie, przyjrzyjmy się zagadnieniu obliczania wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego A, mając daną wartość jednej z nich. Pamiętajcie, że kluczem do sukcesu jest zrozumienie definicji funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym oraz znajomość podstawowych tożsamości trygonometrycznych.
Załóżmy, że mamy kąt ostry A w trójkącie prostokątnym. Oznaczmy boki trójkąta następująco: a - bok przeciwległy do kąta A, b - bok przyległy do kąta A, c - przeciwprostokątna. Funkcje trygonometryczne kąta A definiujemy następująco:
- sin(A) = a/c
- cos(A) = b/c
- tg(A) = a/b
- ctg(A) = b/a
Pamiętajmy również o tożsamości trygonometrycznej, która jest niezwykle przydatna: sin²(A) + cos²(A) = 1. Dodatkowo, tg(A) = sin(A) / cos(A) oraz ctg(A) = cos(A) / sin(A) = 1/tg(A).
Rozważmy przypadek, gdy znamy wartość sinusa kąta A: sin(A) = x, gdzie 0 < x < 1.
Z definicji sinusa wiemy, że x = a/c. Możemy przyjąć, że a = x oraz c = 1. Teraz musimy wyznaczyć b. Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa: a² + b² = c². Podstawiając nasze wartości, otrzymujemy: x² + b² = 1². Stąd, b² = 1 - x², a zatem b = √(1 - x²).
Teraz możemy obliczyć pozostałe funkcje trygonometryczne:
- cos(A) = b/c = √(1 - x²) / 1 = √(1 - x²)
- tg(A) = a/b = x / √(1 - x²) = x√(1 - x²) / (1 - x²) (po usunięciu niewymierności z mianownika)
- ctg(A) = b/a = √(1 - x²) / x = √(1 - x²) * x / x² (po usunięciu niewymierności z mianownika)
Przykład: Załóżmy, że sin(A) = 3/5. Wtedy:
- cos(A) = √(1 - (3/5)²) = √(1 - 9/25) = √(16/25) = 4/5
- tg(A) = (3/5) / (4/5) = 3/4
- ctg(A) = (4/5) / (3/5) = 4/3
Rozważmy przypadek, gdy znamy wartość cosinusa kąta A: cos(A) = y, gdzie 0 < y < 1.
Z definicji cosinusa wiemy, że y = b/c. Możemy przyjąć, że b = y oraz c = 1. Teraz musimy wyznaczyć a. Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa: a² + b² = c². Podstawiając nasze wartości, otrzymujemy: a² + y² = 1². Stąd, a² = 1 - y², a zatem a = √(1 - y²).
Teraz możemy obliczyć pozostałe funkcje trygonometryczne:
- sin(A) = a/c = √(1 - y²) / 1 = √(1 - y²)
- tg(A) = a/b = √(1 - y²) / y = √(1 - y²) * y / y² (po usunięciu niewymierności z mianownika)
- ctg(A) = b/a = y / √(1 - y²) = y√(1 - y²) / (1 - y²) (po usunięciu niewymierności z mianownika)
Przykład: Załóżmy, że cos(A) = 5/13. Wtedy:
- sin(A) = √(1 - (5/13)²) = √(1 - 25/169) = √(144/169) = 12/13
- tg(A) = (12/13) / (5/13) = 12/5
- ctg(A) = (5/13) / (12/13) = 5/12
Rozważmy przypadek, gdy znamy wartość tangensa kąta A: tg(A) = z, gdzie z > 0.
Z definicji tangensa wiemy, że z = a/b. Możemy przyjąć, że a = z oraz b = 1. Teraz musimy wyznaczyć c. Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa: a² + b² = c². Podstawiając nasze wartości, otrzymujemy: z² + 1² = c². Stąd, c² = z² + 1, a zatem c = √(z² + 1).
Teraz możemy obliczyć pozostałe funkcje trygonometryczne:
- sin(A) = a/c = z / √(z² + 1) = z√(z² + 1) / (z² + 1) (po usunięciu niewymierności z mianownika)
- cos(A) = b/c = 1 / √(z² + 1) = √(z² + 1) / (z² + 1) (po usunięciu niewymierności z mianownika)
- ctg(A) = b/a = 1/z
Przykład: Załóżmy, że tg(A) = 2. Wtedy:
- sin(A) = 2 / √(2² + 1) = 2 / √5 = 2√5 / 5
- cos(A) = 1 / √(2² + 1) = 1 / √5 = √5 / 5
- ctg(A) = 1/2
Rozważmy przypadek, gdy znamy wartość cotangensa kąta A: ctg(A) = w, gdzie w > 0.
Z definicji cotangensa wiemy, że w = b/a. Możemy przyjąć, że b = w oraz a = 1. Teraz musimy wyznaczyć c. Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa: a² + b² = c². Podstawiając nasze wartości, otrzymujemy: 1² + w² = c². Stąd, c² = 1 + w², a zatem c = √(1 + w²).
Teraz możemy obliczyć pozostałe funkcje trygonometryczne:
- sin(A) = a/c = 1 / √(1 + w²) = √(1 + w²) / (1 + w²) (po usunięciu niewymierności z mianownika)
- cos(A) = b/c = w / √(1 + w²) = w√(1 + w²) / (1 + w²) (po usunięciu niewymierności z mianownika)
- tg(A) = a/b = 1/w
Przykład: Załóżmy, że ctg(A) = √3. Wtedy:
- sin(A) = 1 / √(1 + (√3)²) = 1 / √(1 + 3) = 1 / √4 = 1/2
- cos(A) = √3 / √(1 + (√3)²) = √3 / √4 = √3 / 2
- tg(A) = 1/√3 = √3 / 3
Podsumowując, mając daną jedną z funkcji trygonometrycznych kąta ostrego, możemy wyznaczyć pozostałe, korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym, twierdzenia Pitagorasa oraz podstawowych tożsamości trygonometrycznych. Pamiętajcie o odpowiednim doborze wartości a, b i c w oparciu o daną funkcję i zastosowanie twierdzenia Pitagorasa do wyznaczenia brakującego boku. Następnie, po prostu podstawcie te wartości do definicji pozostałych funkcji. Ćwiczenia czynią mistrza, więc rozwiązujcie jak najwięcej przykładów, aby utrwalić tę wiedzę.
