Oblicz Wartości Funkcji Trygonometrycznych Kątów Ostrych

Rozważmy trójkąt prostokątny ABC, gdzie kąt przy wierzchołku C jest kątem prostym. Oznaczmy kąt ostry przy wierzchołku A jako α. Wtedy boki tego trójkąta mają swoje nazwy względem tego kąta: przeciwprostokątna (c), przyprostokątna przyległa do kąta α (b), przyprostokątna przeciwległa do kąta α (a).

Funkcje trygonometryczne kąta ostrego α definiujemy następująco:

• Sinus kąta α (sin α) to stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej do kąta α do długości przeciwprostokątnej: sin α = a/c
• Cosinus kąta α (cos α) to stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta α do długości przeciwprostokątnej: cos α = b/c
• Tangens kąta α (tg α) to stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej do kąta α do długości przyprostokątnej przyległej do kąta α: tg α = a/b
• Cotangens kąta α (ctg α) to stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta α do długości przyprostokątnej przeciwległej do kąta α: ctg α = b/a

Zauważ, że tangens to sinus podzielony przez cosinus: tg α = sin α / cos α. Podobnie cotangens to cosinus podzielony przez sinus: ctg α = cos α / sin α. Ponadto, cotangens to odwrotność tangensa: ctg α = 1 / tg α.

Przykład 1:

Mamy trójkąt prostokątny, w którym a = 3, b = 4, c = 5. Kąt α leży naprzeciwko boku a. Zatem:

sin α = 3/5 = 0.6 cos α = 4/5 = 0.8 tg α = 3/4 = 0.75 ctg α = 4/3 = 1.33 (w przybliżeniu)

Przykład 2:

Mamy trójkąt prostokątny, w którym a = 5, c = 13. Musimy najpierw obliczyć długość boku b, korzystając z twierdzenia Pitagorasa: a² + b² = c².

5² + b² = 13² 25 + b² = 169 b² = 144 b = 12

Teraz możemy obliczyć wartości funkcji trygonometrycznych kąta α leżącego naprzeciwko boku a:

sin α = 5/13 = 0.38 (w przybliżeniu) cos α = 12/13 = 0.92 (w przybliżeniu) tg α = 5/12 = 0.42 (w przybliżeniu) ctg α = 12/5 = 2.4

Przykład 3:

Mamy trójkąt prostokątny, w którym b = 8, c = 17. Musimy najpierw obliczyć długość boku a, korzystając z twierdzenia Pitagorasa: a² + b² = c².

a² + 8² = 17² a² + 64 = 289 a² = 225 a = 15

Teraz możemy obliczyć wartości funkcji trygonometrycznych kąta α leżącego naprzeciwko boku a:

sin α = 15/17 = 0.88 (w przybliżeniu) cos α = 8/17 = 0.47 (w przybliżeniu) tg α = 15/8 = 1.88 (w przybliżeniu) ctg α = 8/15 = 0.53 (w przybliżeniu)

Kąty Charakterystyczne

Istnieją pewne kąty ostre, dla których wartości funkcji trygonometrycznych są dobrze znane i często wykorzystywane. Są to kąty 30°, 45° i 60°.

• Kąt 30°:

  • sin 30° = 1/2
  • cos 30° = √3/2
  • tg 30° = √3/3
  • ctg 30° = √3

• Kąt 45°:

  • sin 45° = √2/2
  • cos 45° = √2/2
  • tg 45° = 1
  • ctg 45° = 1

• Kąt 60°:

  • sin 60° = √3/2
  • cos 60° = 1/2
  • tg 60° = √3
  • ctg 60° = √3/3

Wiedza o tych wartościach pozwala na szybkie rozwiązywanie wielu zadań geometrycznych i trygonometrycznych. Wykorzystując zależności między funkcjami trygonometrycznymi, można obliczyć wartości dla innych kątów, które są kombinacją tych kątów podstawowych.

Przykład:

Oblicz wartość sin 15°, wiedząc że 15° = 45° - 30°. Można skorzystać ze wzoru na sinus różnicy kątów: sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β.

sin 15° = sin (45° - 30°) = sin 45° cos 30° - cos 45° sin 30° = (√2/2) * (√3/2) - (√2/2) * (1/2) = (√6 - √2) / 4

Podobnie można obliczać wartości funkcji trygonometrycznych dla innych kątów, korzystając z odpowiednich wzorów redukcyjnych i tożsamości trygonometrycznych.

Zależności Między Funkcjami Trygonometrycznymi

Funkcje trygonometryczne są ze sobą powiązane różnymi zależnościami. Najważniejszą z nich jest "jedynka trygonometryczna":

sin²α + cos²α = 1

Ta tożsamość wynika bezpośrednio z twierdzenia Pitagorasa. Dzieląc obie strony równania przez cos²α otrzymujemy:

tg²α + 1 = 1/cos²α, co można zapisać jako: 1 + tg²α = sec²α, gdzie sec α = 1/cos α (secans).

Dzieląc obie strony "jedynki trygonometrycznej" przez sin²α otrzymujemy:

1 + ctg²α = 1/sin²α, co można zapisać jako: 1 + ctg²α = cosec²α, gdzie cosec α = 1/sin α (cosecans).

Znając wartość jednej z funkcji trygonometrycznych, można za pomocą tych zależności obliczyć wartości pozostałych funkcji.

Przykład:

Załóżmy, że sin α = 0.6. Obliczmy cos α, tg α i ctg α.

Z "jedynki trygonometrycznej":

cos²α = 1 - sin²α = 1 - (0.6)² = 1 - 0.36 = 0.64 cos α = √0.64 = 0.8 (rozważamy tylko wartość dodatnią, ponieważ α jest kątem ostrym)

tg α = sin α / cos α = 0.6 / 0.8 = 0.75 ctg α = 1 / tg α = 1 / 0.75 = 4/3 = 1.33 (w przybliżeniu)

Zastosowanie w Zadaniach Geometrycznych

Funkcje trygonometryczne kątów ostrych są niezwykle przydatne w rozwiązywaniu zadań z geometrii, szczególnie tych dotyczących trójkątów. Pozwalają na obliczanie długości boków i miar kątów, znając pewne informacje o trójkącie.

Przykład:

Dany jest trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątna ma długość 10, a jeden z kątów ostrych ma miarę 30°. Oblicz długości przyprostokątnych.

Oznaczmy kąt 30° jako α. Wtedy:

sin α = a/c, gdzie a to przyprostokątna przeciwległa do kąta α, a c to przeciwprostokątna. cos α = b/c, gdzie b to przyprostokątna przyległa do kąta α, a c to przeciwprostokątna.

sin 30° = a/10 1/2 = a/10 a = 5

cos 30° = b/10 √3/2 = b/10 b = 5√3

Zatem długości przyprostokątnych wynoszą 5 i 5√3.

Inny przykład:

Dany jest trójkąt, w którym jeden z kątów ostrych ma miarę α, a tg α = 2. Jedna z przyprostokątnych ma długość 4. Oblicz długość drugiej przyprostokątnej.

tg α = a/b, gdzie a i b to długości przyprostokątnych.

Jeśli b = 4, to:

2 = a/4 a = 8

Jeśli a = 4, to:

2 = 4/b b = 2

W zależności od tego, która przyprostokątna ma długość 4, druga przyprostokątna ma długość 8 lub 2.

Funkcje trygonometryczne są fundamentalnym narzędziem w matematyce i znajdują szerokie zastosowanie w różnych dziedzinach nauki i techniki, od fizyki i inżynierii po nawigację i astronomię. Zrozumienie ich definicji i własności jest kluczowe dla dalszego rozwoju w naukach ścisłych.