Oblicz Wartość Pozostałych Funkcji Trygonometrycznych Kąta Ostrego Alfa Jeśli

Dobrze, przygotujmy się do rozważenia problemu wyznaczania wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego α, znając wartość jednej z nich. Przejdźmy od razu do konkretów.

Załóżmy, że znamy wartość jednej z funkcji trygonometrycznych kąta ostrego α. Naszym celem jest obliczenie wartości pozostałych czterech (sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa, jeśli znamy np. sinus).

Obliczenia Krok po Kroku

Rozważmy najpierw przypadek, gdy znamy wartość sinusa kąta α, czyli sin α = x, gdzie x ∈ (0, 1).

1. Obliczenie cosinusa (cos α):

   Korzystamy z tożsamości trygonometrycznej: sin² α + cos² α = 1. Przekształcamy ją, aby wyznaczyć cos α:

   cos² α = 1 - sin² α cos α = √(1 - sin² α) = √(1 - x²)

   Ponieważ α jest kątem ostrym, cos α > 0. Zatem wybieramy tylko dodatni pierwiastek.

2. Obliczenie tangensa (tan α):

   Tangens definiujemy jako iloraz sinusa i cosinusa:

   tan α = sin α / cos α = x / √(1 - x²)

   Możemy usunąć niewymierność z mianownika, mnożąc licznik i mianownik przez √(1 - x²):

   tan α = (x√(1 - x²)) / (1 - x²)

3. Obliczenie cotangensa (cot α):

   Cotangens jest odwrotnością tangensa:

   cot α = 1 / tan α = √(1 - x²) / x

   Podobnie, możemy usunąć niewymierność z mianownika, mnożąc licznik i mianownik przez x:

   cot α = (x√(1 - x²)) / x²

Rozważmy teraz sytuację, gdy znamy wartość cosinusa kąta α, czyli cos α = y, gdzie y ∈ (0, 1).

1. Obliczenie sinusa (sin α):

   Ponownie korzystamy z tożsamości trygonometrycznej sin² α + cos² α = 1. Przekształcamy ją, aby wyznaczyć sin α:

   sin² α = 1 - cos² α sin α = √(1 - cos² α) = √(1 - y²)

   Ponieważ α jest kątem ostrym, sin α > 0. Zatem wybieramy tylko dodatni pierwiastek.

2. Obliczenie tangensa (tan α):

   Tangens definiujemy jako iloraz sinusa i cosinusa:

   tan α = sin α / cos α = √(1 - y²) / y

   Możemy usunąć niewymierność z mianownika, mnożąc licznik i mianownik przez y:

   tan α = (y√(1 - y²)) / y²

3. Obliczenie cotangensa (cot α):

   Cotangens jest odwrotnością tangensa:

   cot α = 1 / tan α = y / √(1 - y²)

   Możemy usunąć niewymierność z mianownika, mnożąc licznik i mianownik przez √(1 - y²):

   cot α = (y√(1 - y²)) / (1 - y²)

Przejdźmy teraz do przypadku, gdy znamy wartość tangensa kąta α, czyli tan α = z, gdzie z > 0.

1. Obliczenie cotangensa (cot α):

   Cotangens jest odwrotnością tangensa:

   cot α = 1 / tan α = 1 / z

2. Obliczenie sinusa (sin α) i cosinusa (cos α):

   Korzystamy z tożsamości: 1 + tan² α = 1 / cos² α

   1 / cos² α = 1 + z² cos² α = 1 / (1 + z²) cos α = 1 / √(1 + z²) = √(1 + z²) / (1 + z²)

   Następnie obliczamy sinus:

   sin α = tan α * cos α = z * (1 / √(1 + z²)) = z / √(1 + z²) = (z√(1 + z²)) / (1 + z²)

Na koniec, rozważmy przypadek, gdy znamy wartość cotangensa kąta α, czyli cot α = w, gdzie w > 0.

1. Obliczenie tangensa (tan α):

   Tangens jest odwrotnością cotangensa:

   tan α = 1 / cot α = 1 / w

2. Obliczenie sinusa (sin α) i cosinusa (cos α):

   Korzystamy z tożsamości: 1 + cot² α = 1 / sin² α

   1 / sin² α = 1 + w² sin² α = 1 / (1 + w²) sin α = 1 / √(1 + w²) = √(1 + w²) / (1 + w²)

   Następnie obliczamy cosinus:

   cos α = cot α * sin α = w * (1 / √(1 + w²)) = w / √(1 + w²) = (w√(1 + w²)) / (1 + w²)

Alternatywne Metody i Uogólnienia

Istnieją również inne, mniej bezpośrednie metody obliczania tych wartości, na przykład wykorzystanie trójkąta prostokątnego, w którym α jest jednym z kątów ostrych. Jeśli znamy jedną z funkcji, możemy ustalić stosunek długości boków trójkąta i następnie obliczyć pozostałe długości boków, a stąd – wartości pozostałych funkcji. Ta metoda jest szczególnie przydatna, gdy mamy do czynienia z konkretnymi wartościami liczbowymi. Przykładowo, jeśli sin α = 3/5, możemy wyobrazić sobie trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątna ma długość 5, a bok naprzeciw kąta α ma długość 3. Wtedy, z twierdzenia Pitagorasa, trzeci bok (przyległy do kąta α) ma długość 4. Stąd cos α = 4/5, tan α = 3/4, a cot α = 4/3.

Uwagi Końcowe

Ważne jest, aby pamiętać o dziedzinach funkcji trygonometrycznych i ich znakach w różnych ćwiartkach układu współrzędnych. W przypadku kątów ostrych (0 < α < π/2), wszystkie funkcje trygonometryczne przyjmują wartości dodatnie. Ułatwia to wybór odpowiedniego znaku pierwiastka podczas obliczeń. Ponadto, warto zauważyć, że tożsamości trygonometryczne stanowią potężne narzędzie do rozwiązywania tego typu problemów. Znajomość podstawowych tożsamości i umiejętność ich przekształcania jest kluczowa do efektywnego rozwiązywania zadań z trygonometrii. Warto także pamiętać, że precyzja w obliczeniach jest niezwykle istotna, zwłaszcza gdy mamy do czynienia z wyrażeniami zawierającymi pierwiastki kwadratowe. Błędy w zaokrągleniach mogą prowadzić do znaczących odchyleń od poprawnego wyniku. Dlatego zaleca się, aby w miarę możliwości unikać zaokrągleń w trakcie obliczeń i dokonywać ich dopiero na samym końcu. Regularne ćwiczenia i rozwiązywanie różnorodnych zadań pozwalają na utrwalenie wiedzy i nabycie wprawy w operowaniu funkcjami trygonometrycznymi.

Przedstawione powyżej metody pozwalają na kompleksowe rozwiązanie problemu wyznaczania wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego, gdy dana jest wartość jednej z nich. Kluczowe jest zrozumienie definicji funkcji trygonometrycznych, znajomość podstawowych tożsamości oraz umiejętność ich zastosowania w praktyce.