Oblicz Wartość Pozostałych Funkcji Trygonometrycznych Kąta Ostrego Alfa

Dobrze, moi drodzy uczniowie, przejdźmy zatem do sedna sprawy i omówmy, jak obliczyć wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego alfa, znając wartość jednej z nich. Przygotujcie się na solidną dawkę wiedzy!

Załóżmy, że posiadamy kąt ostry α i znamy wartość jednej z jego funkcji trygonometrycznych, na przykład sinusa, cosinusa, tangensa, cotangensa, secansa lub cosecansa. Naszym celem jest wyznaczenie wartości pozostałych pięciu funkcji.

Wykorzystanie Tożsamości Trygonometrycznych

Podstawowym narzędziem, którym się posłużymy, są tożsamości trygonometryczne. Stanowią one fundament rachunku trygonometrycznego i pozwalają na wyrażanie jednych funkcji za pomocą innych. Oto kluczowe tożsamości, które wykorzystamy:

Jedynka Trygonometryczna: sin²α + cos²α = 1
Definicje Tangensa i Cotangensa: tanα = sinα / cosα, cotα = cosα / sinα
Związki Tangensa i Cotangensa: tanα * cotα = 1
Definicje Secansa i Cosecansa: secα = 1 / cosα, cscα = 1 / sinα

Przejdźmy teraz do konkretnych przykładów, pokazujących, jak wykorzystać te tożsamości w praktyce.

Przypadek 1: Znana Wartość Sinusa (sin α)

Jeśli znamy wartość sinusa kąta α, czyli sin α = x, gdzie x jest liczbą z przedziału (0, 1) (ponieważ α jest kątem ostrym), możemy postępować następująco:

Obliczenie Cosinusa (cos α): Z jedynki trygonometrycznej mamy: cos²α = 1 - sin²α. Zatem cos²α = 1 - x². Wyciągając pierwiastek kwadratowy, otrzymujemy cosα = √(1 - x²). Wybieramy tylko wartość dodatnią, ponieważ dla kąta ostrego cosinus jest zawsze dodatni.
Obliczenie Tangensa (tan α): Korzystamy z definicji tangensa: tanα = sinα / cosα. Podstawiając obliczone wartości, otrzymujemy tanα = x / √(1 - x²). Możemy usunąć niewymierność z mianownika, mnożąc licznik i mianownik przez √(1 - x²), uzyskując tanα = x√(1 - x²) / (1 - x²).
Obliczenie Cotangensa (cot α): Cotangens jest odwrotnością tangensa, więc cotα = 1 / tanα. Zatem cotα = √(1 - x²) / x. Podobnie jak wcześniej, możemy usunąć niewymierność z mianownika, mnożąc licznik i mianownik przez x, uzyskując cotα = x√(1 - x²) / x².
Obliczenie Secansa (sec α): Secans jest odwrotnością cosinusa, więc secα = 1 / cosα. Zatem secα = 1 / √(1 - x²). Usuwając niewymierność z mianownika, otrzymujemy secα = √(1 - x²) / (1 - x²).
Obliczenie Cosecansa (csc α): Cosecans jest odwrotnością sinusa, więc cscα = 1 / sinα. Zatem cscα = 1 / x.

Przypadek 2: Znana Wartość Cosinusa (cos α)

Załóżmy teraz, że znamy wartość cosinusa kąta α, czyli cos α = y, gdzie y jest liczbą z przedziału (0, 1).

Obliczenie Sinusa (sin α): Z jedynki trygonometrycznej mamy: sin²α = 1 - cos²α. Zatem sin²α = 1 - y². Wyciągając pierwiastek kwadratowy, otrzymujemy sinα = √(1 - y²). Wybieramy wartość dodatnią.
Obliczenie Tangensa (tan α): Korzystamy z definicji tangensa: tanα = sinα / cosα. Podstawiając, otrzymujemy tanα = √(1 - y²) / y. Usuwając niewymierność, otrzymujemy tanα = y√(1 - y²) / y².
Obliczenie Cotangensa (cot α): Cotangens jest odwrotnością tangensa, więc cotα = y / √(1 - y²). Usuwając niewymierność, otrzymujemy cotα = y√(1 - y²) / (1 - y²).
Obliczenie Secansa (sec α): Secans jest odwrotnością cosinusa, więc secα = 1 / y.
Obliczenie Cosecansa (csc α): Cosecans jest odwrotnością sinusa, więc cscα = 1 / √(1 - y²). Usuwając niewymierność, otrzymujemy cscα = √(1 - y²) / (1 - y²).

Przypadek 3: Znana Wartość Tangensa (tan α)

Załóżmy, że znamy wartość tangensa kąta α, czyli tan α = z, gdzie z jest liczbą dodatnią (ponieważ α jest kątem ostrym).

Obliczenie Cotangensa (cot α): Cotangens jest odwrotnością tangensa, więc cotα = 1 / z.
Wyrażenie sinusa i cosinusa za pomocą tangensa: Wiemy, że tan α = sin α / cos α. Zatem sin α = tan α * cos α = z * cos α. Podstawiając to do jedynki trygonometrycznej, otrzymujemy: (z * cos α)² + cos²α = 1, czyli z²cos²α + cos²α = 1. Wyciągając cos²α przed nawias, mamy cos²α( z² + 1) = 1. Zatem cos²α = 1 / (z² + 1).
Obliczenie Cosinusa (cos α): Wyciągając pierwiastek kwadratowy, otrzymujemy cosα = 1 / √(z² + 1). Usuwając niewymierność, otrzymujemy cosα = √(z² + 1) / (z² + 1).
Obliczenie Sinusa (sin α): sin α = tan α * cos α = z * √(z² + 1) / (z² + 1) = z√(z² + 1) / (z² + 1).
Obliczenie Secansa (sec α): Secans jest odwrotnością cosinusa, więc secα = √(z² + 1).
Obliczenie Cosecansa (csc α): Cosecans jest odwrotnością sinusa, więc cscα = √(z² + 1) / z.

Przypadek 4: Znana Wartość Cotangensa (cot α)

Załóżmy, że znamy wartość cotangensa kąta α, czyli cot α = w, gdzie w jest liczbą dodatnią.

Obliczenie Tangensa (tan α): Tangens jest odwrotnością cotangensa, więc tanα = 1 / w.
Wyrażenie sinusa i cosinusa za pomocą cotangensa: Wiemy, że cot α = cos α / sin α. Zatem cos α = cot α * sin α = w * sin α. Podstawiając to do jedynki trygonometrycznej, otrzymujemy: sin²α + (w * sin α)² = 1, czyli sin²α + w²sin²α = 1. Wyciągając sin²α przed nawias, mamy sin²α(1 + w²) = 1. Zatem sin²α = 1 / (1 + w²).
Obliczenie Sinusa (sin α): Wyciągając pierwiastek kwadratowy, otrzymujemy sinα = 1 / √(1 + w²). Usuwając niewymierność, otrzymujemy sinα = √(1 + w²) / (1 + w²).
Obliczenie Cosinusa (cos α): cos α = cot α * sin α = w * √(1 + w²) / (1 + w²) = w√(1 + w²) / (1 + w²).
Obliczenie Secansa (sec α): Secans jest odwrotnością cosinusa, więc secα = √(1 + w²) / w.
Obliczenie Cosecansa (csc α): Cosecans jest odwrotnością sinusa, więc cscα = √(1 + w²).

Dodatkowe Wskazówki i Uwagi

Pamiętajcie, moi drodzy, że kluczem do sukcesu jest solidne opanowanie tożsamości trygonometrycznych. Im lepiej je znacie, tym łatwiej będzie wam przekształcać i upraszczać wyrażenia trygonometryczne.

Podczas obliczeń zawsze zwracajcie uwagę na znak funkcji trygonometrycznej w danej ćwiartce układu współrzędnych. W przypadku kątów ostrych (0° < α < 90°) wszystkie funkcje trygonometryczne przyjmują wartości dodatnie.

Czasami warto przekształcić dane wyrażenie, aby doprowadzić je do postaci, w której można zastosować znaną tożsamość. Nie bójcie się eksperymentować i próbować różnych metod!

Wykorzystanie Trójkąta Prostokątnego

Alternatywnym podejściem, szczególnie przydatnym w przypadku kątów ostrych, jest wykorzystanie definicji funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym.

Jeśli znamy na przykład sinus kąta α, możemy narysować trójkąt prostokątny, w którym stosunek długości przyprostokątnej naprzeciwległej do kąta α do długości przeciwprostokątnej jest równy znanej wartości sinusa. Następnie, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, możemy obliczyć długość trzeciego boku trójkąta. Znając długości wszystkich boków trójkąta, możemy łatwo wyznaczyć wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych.

Na przykład, jeśli sin α = 3/5, rysujemy trójkąt prostokątny, w którym przyprostokątna naprzeciwległa do kąta α ma długość 3, a przeciwprostokątna ma długość 5. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość drugiej przyprostokątnej: a² + 3² = 5², a² = 25 - 9 = 16, a = 4. Zatem cos α = 4/5, tan α = 3/4, cot α = 4/3, sec α = 5/4, csc α = 5/3.

Pamiętajcie jednak, że metoda ta jest szczególnie przydatna w przypadku, gdy znamy wartość funkcji trygonometrycznej w postaci ułamka.

Podsumowując, moi drodzy, obliczanie wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego alfa, znając wartość jednej z nich, wymaga solidnej znajomości tożsamości trygonometrycznych oraz umiejętności ich stosowania w praktyce. Alternatywnie, można wykorzystać definicje funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym. Ćwiczcie regularnie, rozwiązujcie różnorodne zadania, a z pewnością opanujecie tę umiejętność do perfekcji! Powodzenia!