Oblicz Wartość Dziesiętną Liczb Zapisanych W Postaci Dwójkowej

Zanurzmy się w fascynujący świat liczb binarnych i nauczmy się, jak zamienić je na ich odpowiedniki w systemie dziesiętnym, który używamy na co dzień. To podstawowa umiejętność dla każdego, kto chce zrozumieć, jak komputery przechowują i przetwarzają informacje.

Zacznijmy od prostego przykładu. Weźmy liczbę binarną 1011. Aby ją zamienić na liczbę dziesiętną, musimy przypisać każdej cyfrze (bitowi) odpowiednią wagę, zależną od jej pozycji. W systemie binarnym wagi to potęgi liczby 2, liczone od prawej strony, zaczynając od 2⁰.

Zatem, dla liczby 1011, licząc od prawej, mamy:

• 1 (najbardziej prawy bit) ma wagę 2⁰ = 1
• 1 ma wagę 2¹ = 2
• 0 ma wagę 2² = 4
• 1 (najbardziej lewy bit) ma wagę 2³ = 8

Teraz pomnóżmy każdy bit przez jego wagę:

• 1 * 1 = 1
• 1 * 2 = 2
• 0 * 4 = 0
• 1 * 8 = 8

Na koniec zsumujmy te wyniki: 1 + 2 + 0 + 8 = 11.

Zatem liczba binarna 1011 jest równa 11 w systemie dziesiętnym.

Spróbujmy z innym przykładem: 110010.

• 0 * 2⁰ = 0 * 1 = 0
• 1 * 2¹ = 1 * 2 = 2
• 0 * 2² = 0 * 4 = 0
• 0 * 2³ = 0 * 8 = 0
• 1 * 2⁴ = 1 * 16 = 16
• 1 * 2⁵ = 1 * 32 = 32

Suma: 0 + 2 + 0 + 0 + 16 + 32 = 50. Czyli 110010 w systemie binarnym to 50 w systemie dziesiętnym.

Kolejny przykład: 1000000.

• 0 * 2⁰ = 0
• 0 * 2¹ = 0
• 0 * 2² = 0
• 0 * 2³ = 0
• 0 * 2⁴ = 0
• 0 * 2⁵ = 0
• 1 * 2⁶ = 64

Suma: 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 64 = 64. Zatem 1000000 w systemie binarnym to 64 w systemie dziesiętnym.

Im dłuższa liczba binarna, tym więcej obliczeń, ale zasada pozostaje ta sama. Po prostu kontynuujesz mnożenie każdego bitu przez odpowiednią potęgę liczby 2 i sumujesz wyniki.

Rozważmy teraz liczby binarne o większej liczbie bitów. Pokażemy, jak sprawnie przeliczać je na system dziesiętny. Użyjemy liczby 10101010.

• 0 * 2⁰ = 0
• 1 * 2¹ = 2
• 0 * 2² = 0
• 1 * 2³ = 8
• 0 * 2⁴ = 0
• 1 * 2⁵ = 32
• 0 * 2⁶ = 0
• 1 * 2⁷ = 128

Suma: 0 + 2 + 0 + 8 + 0 + 32 + 0 + 128 = 170. Tak więc 10101010₂ = 170₁₀.

Spróbujmy teraz z 11110000.

• 0 * 2⁰ = 0
• 0 * 2¹ = 0
• 0 * 2² = 0
• 0 * 2³ = 0
• 1 * 2⁴ = 16
• 1 * 2⁵ = 32
• 1 * 2⁶ = 64
• 1 * 2⁷ = 128

Suma: 0 + 0 + 0 + 0 + 16 + 32 + 64 + 128 = 240. Czyli 11110000 w systemie binarnym to 240 w systemie dziesiętnym.

Weźmy jeszcze liczbę 10111001.

• 1 * 2⁰ = 1
• 0 * 2¹ = 0
• 0 * 2² = 0
• 1 * 2³ = 8
• 1 * 2⁴ = 16
• 1 * 2⁵ = 32
• 0 * 2⁶ = 0
• 1 * 2⁷ = 128

Suma: 1 + 0 + 0 + 8 + 16 + 32 + 0 + 128 = 185. Zatem 10111001 w systemie binarnym to 185 w systemie dziesiętnym.

Pamiętaj, że kluczem jest systematyczne przypisywanie wag i dokładne sumowanie.

A co z bardzo długimi liczbami binarnymi? Na przykład, 1010110011110001? Zasada jest dokładnie taka sama, tylko wymaga więcej uwagi i cierpliwości.

• 1 * 2⁰ = 1
• 0 * 2¹ = 0
• 0 * 2² = 0
• 0 * 2³ = 0
• 1 * 2⁴ = 16
• 1 * 2⁵ = 32
• 1 * 2⁶ = 64
• 1 * 2⁷ = 128
• 0 * 2⁸ = 0
• 0 * 2⁹ = 0
• 1 * 2¹⁰ = 1024
• 0 * 2¹¹ = 0
• 1 * 2¹² = 4096
• 0 * 2¹³ = 0
• 1 * 2¹⁴ = 16384
• 0 * 2¹⁵ = 0

Suma: 1 + 0 + 0 + 0 + 16 + 32 + 64 + 128 + 0 + 0 + 1024 + 0 + 4096 + 0 + 16384 + 0 = 21745. Czyli 1010110011110001 w systemie binarnym to 21745 w systemie dziesiętnym.

Kluczem jest tutaj precyzja i systematyczność. Jeśli będziesz postępować krok po kroku, bez pośpiechu, nawet bardzo długie liczby binarne nie będą stanowić problemu.

Praktyka czyni mistrza. Im więcej będziesz ćwiczyć, tym szybciej i sprawniej będziesz w stanie zamieniać liczby binarne na dziesiętne w pamięci.

Pamiętaj też, że w internecie dostępne są kalkulatory binarne, które mogą pomóc Ci sprawdzić swoje obliczenia. Nie polegaj jednak na nich w 100%. Najważniejsze jest, aby zrozumieć zasadę działania i potrafić wykonać obliczenia samodzielnie. To solidna podstawa do dalszej nauki informatyki.