Oblicz Sume Wszystkich Liczb Trzycyfrowych Zapisanych Wylacznie

Zadanie polega na obliczeniu sumy wszystkich liczb trzycyfrowych, które zapisane są wyłącznie przy użyciu określonych cyfr. Przejdźmy od razu do meritum i rozważmy kilka przypadków, aby zrozumieć, jak podejść do tego problemu.

Załóżmy najpierw, że cyfry, których możemy użyć to 1, 2 i 3. Oznacza to, że możemy tworzyć liczby takie jak 111, 112, 113, 121, 122, 123 i tak dalej. Musimy znaleźć wszystkie możliwe kombinacje i je zsumować.

Aby to zrobić systematycznie, zastanówmy się, ile razy każda z tych cyfr (1, 2, 3) występuje na każdej pozycji (setek, dziesiątek, jedności) w tych liczbach trzycyfrowych. Wszystkich możliwych liczb trzycyfrowych, które możemy utworzyć, używając tylko cyfr 1, 2 i 3, jest 3 * 3 * 3 = 27. Wynika to z faktu, że mamy 3 możliwości wyboru cyfry dla setek, 3 możliwości dla dziesiątek i 3 możliwości dla jedności.

Teraz obliczmy, ile razy każda cyfra występuje na pozycji setek. Ponieważ mamy 27 liczb i 3 możliwe cyfry do wyboru, każda cyfra (1, 2, 3) pojawi się na pozycji setek 27 / 3 = 9 razy. To samo dotyczy pozycji dziesiątek i jedności – każda cyfra pojawi się tam również 9 razy.

Zatem suma cyfr na pozycji setek wynosi 9 * 1 + 9 * 2 + 9 * 3 = 9 + 18 + 27 = 54. Ponieważ te cyfry znajdują się na pozycji setek, ich wartość wynosi 54 * 100 = 5400.

Podobnie, suma cyfr na pozycji dziesiątek wynosi 9 * 1 + 9 * 2 + 9 * 3 = 54. Ponieważ te cyfry znajdują się na pozycji dziesiątek, ich wartość wynosi 54 * 10 = 540.

I wreszcie, suma cyfr na pozycji jedności wynosi 9 * 1 + 9 * 2 + 9 * 3 = 54. Ponieważ te cyfry znajdują się na pozycji jedności, ich wartość wynosi 54 * 1 = 54.

Całkowita suma wszystkich liczb trzycyfrowych wynosi więc 5400 + 540 + 54 = 5994.

Rozważmy teraz inny przypadek. Załóżmy, że możemy używać tylko cyfr 0 i 1. To wprowadza pewne komplikacje, ponieważ liczba trzycyfrowa nie może zaczynać się od 0. Oznacza to, że na pozycji setek możemy mieć tylko cyfrę 1. Na pozycji dziesiątek i jedności możemy mieć zarówno 0, jak i 1.

Ile liczb możemy utworzyć w tym przypadku? Na pozycji setek mamy tylko jedną możliwość (1). Na pozycji dziesiątek mamy 2 możliwości (0 lub 1), a na pozycji jedności również 2 możliwości (0 lub 1). Zatem liczba wszystkich możliwych liczb trzycyfrowych wynosi 1 * 2 * 2 = 4. Te liczby to: 100, 101, 110, 111.

Teraz zsumujmy te liczby: 100 + 101 + 110 + 111 = 422.

Spójrzmy teraz na bardziej ogólny przypadek. Załóżmy, że mamy zbiór cyfr, z których możemy tworzyć liczby trzycyfrowe. Nazwijmy ten zbiór C. Musimy uwzględnić fakt, że zbiór C może zawierać 0, a jeśli tak, to 0 nie może być używane na pozycji setek.

Niech n będzie liczbą elementów w zbiorze C. Oznaczmy przez n_s liczbę cyfr w zbiorze C, które mogą być używane na pozycji setek (czyli wszystkie cyfry w C oprócz 0, jeśli 0 jest w C).

Zatem liczba wszystkich możliwych liczb trzycyfrowych, które możemy utworzyć, wynosi n_s * n * n.

Obliczenie sumy wszystkich tych liczb jest bardziej złożone, ale możemy zastosować podobne podejście jak wcześniej. Musimy obliczyć, ile razy każda cyfra występuje na każdej pozycji i zważyć to odpowiednio.

Na pozycji setek, każda cyfra z n_s wystąpi n * n razy. Sumę cyfr na pozycji setek można obliczyć jako (suma wszystkich cyfr w n_s) * n * n. Następnie mnożymy tę sumę przez 100.

Na pozycji dziesiątek, każda cyfra z C wystąpi n_s * n razy. Sumę cyfr na pozycji dziesiątek można obliczyć jako (suma wszystkich cyfr w C) * n_s * n. Następnie mnożymy tę sumę przez 10.

Na pozycji jedności, każda cyfra z C wystąpi n_s * n razy. Sumę cyfr na pozycji jedności można obliczyć jako (suma wszystkich cyfr w C) * n_s * n. Następnie mnożymy tę sumę przez 1.

Ostatecznie, suma wszystkich liczb trzycyfrowych jest sumą tych trzech wyników.

Ogólny Wzór i jego Zastosowanie

Mając zbiór cyfr C, z którego tworzymy liczby trzycyfrowe, postępujemy następująco:

1. Wyznaczamy n, czyli liczbę cyfr w zbiorze C.
2. Wyznaczamy n_s, czyli liczbę cyfr w zbiorze C, które mogą stać na miejscu setek (czyli wszystkie cyfry oprócz zera, jeśli zero należy do C).
3. Obliczamy sumę cyfr, które mogą stać na miejscu setek (suma cyfr w n_s). Nazwijmy tę sumę S_s.
4. Obliczamy sumę wszystkich cyfr w zbiorze C. Nazwijmy tę sumę S.
5. Obliczamy sumę wszystkich liczb trzycyfrowych według wzoru:

Suma = S_s * n * n * 100 + S * n_s * n * 10 + S * n_s * n * 1

Przykład: C = {2, 4, 6}

1. n = 3
2. n_s = 3
3. S_s = 2 + 4 + 6 = 12
4. S = 2 + 4 + 6 = 12
5. Suma = 12 * 3 * 3 * 100 + 12 * 3 * 3 * 10 + 12 * 3 * 3 * 1 = 10800 + 1080 + 108 = 11988

Przykład: C = {0, 5}

1. n = 2
2. n_s = 1 (tylko 5 może stać na miejscu setek)
3. S_s = 5
4. S = 0 + 5 = 5
5. Suma = 5 * 2 * 2 * 100 + 5 * 1 * 2 * 10 + 5 * 1 * 2 * 1 = 2000 + 100 + 10 = 2110. Sprawdźmy. Liczby to: 500, 505, 550, 555. Ich suma to 500 + 505 + 550 + 555 = 2110. Zgadza się!

Kwestie Optymalizacji i Wydajności

Chociaż przedstawiony wzór jest poprawny i pozwala obliczyć sumę, warto zastanowić się nad jego optymalizacją, szczególnie jeśli zbiór C jest bardzo duży. Obliczanie sum S i S_s może być czasochłonne, jeśli zbiór zawiera tysiące cyfr. W takim przypadku warto rozważyć użycie bardziej efektywnych struktur danych, takich jak zbiory (sets), które pozwalają na szybkie sprawdzenie przynależności elementu do zbioru. Jednak w większości praktycznych zastosowań, gdzie zbiór C zawiera kilka, kilkanaście cyfr, optymalizacja nie jest krytyczna. Najważniejsze jest zrozumienie algorytmu i jego poprawne zaimplementowanie.

Podsumowując, problem obliczenia sumy wszystkich liczb trzycyfrowych zapisanych wyłącznie przy użyciu określonych cyfr można rozwiązać systematycznie, uwzględniając ograniczenia dotyczące cyfr na pozycji setek i wykorzystując prosty wzór, który bazuje na sumie cyfr i liczbie dostępnych cyfr.