Oblicz Sumę Wszystkich Liczb Naturalnych Niepodzielnych Przez 5

Zastanówmy się, jak obliczyć sumę wszystkich liczb naturalnych, które nie dzielą się przez 5. Wydaje się to na pierwszy rzut oka trudne, bo tych liczb jest nieskończenie wiele. Dlatego musimy trochę zawęzić problem. Załóżmy, że chcemy obliczyć sumę liczb naturalnych niepodzielnych przez 5 w pewnym przedziale, na przykład od 1 do 100.

Najprostszym sposobem jest wypisanie wszystkich liczb naturalnych od 1 do 100 i sprawdzenie, które z nich nie dzielą się przez 5. Te, które się nie dzielą, sumujemy. Ale to byłoby bardzo pracochłonne, zwłaszcza gdybyśmy mieli do czynienia z większym przedziałem, na przykład od 1 do 1000000. Musimy znaleźć sprytniejszy sposób.

Zacznijmy od obliczenia sumy wszystkich liczb naturalnych od 1 do 100, bez żadnych ograniczeń. Istnieje na to wzór: suma liczb od 1 do n wynosi n*(n+1)/2. W naszym przypadku n = 100, więc suma wszystkich liczb od 1 do 100 wynosi 100*(100+1)/2 = 100*101/2 = 5050.

Teraz musimy obliczyć sumę liczb, które dzielą się przez 5 w tym przedziale, czyli 5, 10, 15, 20, ..., 100. Możemy zauważyć, że to jest ciąg arytmetyczny. Pierwszy wyraz tego ciągu to 5, różnica to 5, a ostatni wyraz to 100. Musimy obliczyć, ile jest wyrazów w tym ciągu. Możemy to zrobić dzieląc ostatni wyraz przez 5: 100/5 = 20. Czyli mamy 20 liczb podzielnych przez 5 w przedziale od 1 do 100.

Suma ciągu arytmetycznego to (pierwszy wyraz + ostatni wyraz) * liczba wyrazów / 2. W naszym przypadku to (5 + 100) * 20 / 2 = 105 * 10 = 1050.

Aby obliczyć sumę liczb niepodzielnych przez 5, odejmujemy od sumy wszystkich liczb (5050) sumę liczb podzielnych przez 5 (1050): 5050 - 1050 = 4000.

Zatem suma wszystkich liczb naturalnych niepodzielnych przez 5 w przedziale od 1 do 100 wynosi 4000.

Spróbujmy teraz rozwiązać ten problem bardziej ogólnie, dla przedziału od 1 do n.

Obliczanie Sumy Ogólnej

1. Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych od 1 do n: suma = n*(n+1)/2.

2. Oblicz sumę liczb podzielnych przez 5 w przedziale od 1 do n. Najpierw musimy ustalić, ile jest liczb podzielnych przez 5 w tym przedziale. Dzielimy n przez 5 i zaokrąglamy w dół do liczby całkowitej. Nazwijmy ten wynik k. Czyli k = floor(n/5).

3. Liczby podzielne przez 5 to: 5, 10, 15, ..., 5k. Możemy zapisać to jako: 51, 52, 53, ..., 5k. Suma tych liczb to 5*(1 + 2 + 3 + ... + k). Wiemy już, że suma liczb od 1 do k wynosi k*(k+1)/2. Zatem suma liczb podzielnych przez 5 to 5 * k*(k+1)/2.

4. Odejmujemy sumę liczb podzielnych przez 5 od sumy wszystkich liczb: suma_niepodzielnych = n*(n+1)/2 - 5 * k*(k+1)/2, gdzie k = floor(n/5).

Sprawdźmy, czy ten wzór działa dla n = 100. Wtedy k = floor(100/5) = 20. Zatem suma_niepodzielnych = 100*(100+1)/2 - 5 * 20*(20+1)/2 = 5050 - 5 * 20 * 21 / 2 = 5050 - 5 * 210 = 5050 - 1050 = 4000. Zgadza się!

Teraz spróbujmy dla n = 10. Suma wszystkich liczb od 1 do 10 to 10*(10+1)/2 = 55. Liczby podzielne przez 5 to 5 i 10. Ich suma to 15. Zatem suma liczb niepodzielnych przez 5 to 55 - 15 = 40.

Zgodnie z naszym wzorem, k = floor(10/5) = 2. Zatem suma_niepodzielnych = 10*(10+1)/2 - 5 * 2*(2+1)/2 = 55 - 5 * 2 * 3 / 2 = 55 - 15 = 40. Znowu się zgadza!

Spróbujmy dla n = 12. Suma wszystkich liczb od 1 do 12 to 12*(12+1)/2 = 78. Liczby podzielne przez 5 to 5 i 10. Ich suma to 15. Zatem suma liczb niepodzielnych przez 5 to 78 - 15 = 63.

Zgodnie z naszym wzorem, k = floor(12/5) = 2. Zatem suma_niepodzielnych = 12*(12+1)/2 - 5 * 2*(2+1)/2 = 78 - 5 * 2 * 3 / 2 = 78 - 15 = 63. Zgadza się!

Uogólnienie i Podsumowanie

Podsumowując, aby obliczyć sumę liczb naturalnych niepodzielnych przez 5 w przedziale od 1 do n, wykonujemy następujące kroki:

1. Obliczamy sumę wszystkich liczb naturalnych od 1 do n: suma_wszystkich = n * (n + 1) / 2.

2. Obliczamy, ile jest liczb podzielnych przez 5 w tym przedziale: k = floor(n / 5).

3. Obliczamy sumę liczb podzielnych przez 5: suma_podzielnych = 5 * k * (k + 1) / 2.

4. Odejmujemy sumę liczb podzielnych przez 5 od sumy wszystkich liczb: suma_niepodzielnych = suma_wszystkich - suma_podzielnych.

Ten wzór działa dla dowolnej liczby naturalnej n.

Pamiętaj, że floor(x) oznacza zaokrąglenie liczby x w dół do najbliższej liczby całkowitej. Na przykład, floor(3.14) = 3, floor(5.99) = 5, a floor(7) = 7. Funkcja floor jest często dostępna w językach programowania i arkuszach kalkulacyjnych. Jeśli nie masz dostępu do funkcji floor, możesz po prostu odrzucić część ułamkową liczby.

Ważne jest, aby pamiętać, że ten wzór działa tylko dla liczb naturalnych. Liczby naturalne to liczby całkowite większe od zera: 1, 2, 3, 4, i tak dalej. Jeśli chcemy obliczyć sumę liczb niepodzielnych przez 5 w innym przedziale, na przykład od a do b, musimy najpierw obliczyć sumę liczb niepodzielnych przez 5 od 1 do b, a następnie odjąć od niej sumę liczb niepodzielnych przez 5 od 1 do a-1.

Na przykład, jeśli chcemy obliczyć sumę liczb niepodzielnych przez 5 w przedziale od 11 do 20, najpierw obliczamy sumę liczb niepodzielnych przez 5 od 1 do 20, a następnie odejmujemy od niej sumę liczb niepodzielnych przez 5 od 1 do 10.

Inne Sposoby Rozwiązania

Chociaż przedstawiony sposób jest najbardziej efektywny, istnieje możliwość obliczenia tego na wiele różnych sposobów. Na przykład, można by użyć pętli w programie komputerowym, aby iterować po wszystkich liczbach w danym przedziale i sprawdzać, czy każda z nich jest podzielna przez 5. Jeśli nie, dodajemy ją do sumy. Ten sposób jest jednak znacznie mniej efektywny niż użycie wzoru, zwłaszcza dla dużych przedziałów. Użycie wzoru pozwala nam uniknąć konieczności sprawdzania każdej liczby indywidualnie.

Innym sposobem, choć bardziej skomplikowanym, byłoby użycie teorii liczb i funkcji arytmetycznych do wyprowadzenia bardziej zaawansowanego wzoru. Jednak w większości praktycznych zastosowań, przedstawiony tutaj wzór jest wystarczająco dobry i stosunkowo prosty do zrozumienia i zastosowania.