Oblicz Promień Okręgu Opisanego Na Trójkącie Prostokątnym

Dobrze, oto artykuł wyjaśniający, jak obliczyć promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym, napisany w prosty sposób, po polsku, bez tytułu i tabel, z uwzględnieniem podanych ograniczeń:

Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym oblicza się w naprawdę prosty sposób. Kluczem jest zrozumienie, że przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest średnicą okręgu, który jest na nim opisany. Czyli, środek tego okręgu leży dokładnie w połowie przeciwprostokątnej.

Żeby to lepiej zobrazować, wyobraź sobie trójkąt prostokątny narysowany wewnątrz okręgu tak, że wszystkie jego wierzchołki dotykają okręgu. Kąt prosty tego trójkąta "patrzy" na średnicę okręgu. Dwa pozostałe kąty trójkąta "dzielą" średnicę na dwa łuki.

Jak to obliczyć?

Żeby znaleźć promień, wystarczy zmierzyć długość przeciwprostokątnej (najdłuższy bok trójkąta prostokątnego, leżący naprzeciwko kąta prostego) i podzielić ją przez dwa. To cała filozofia!

Jeśli długość przeciwprostokątnej oznaczamy jako c, a promień okręgu opisanego jako R, to wzór wygląda następująco:

R = c / 2

Przykłady

Załóżmy, że masz trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątna ma długość 10 cm. Żeby obliczyć promień okręgu opisanego na tym trójkącie, po prostu dzielisz 10 cm przez 2:

R = 10 cm / 2 = 5 cm

Promień tego okręgu wynosi 5 cm.

Kolejny przykład: przeciwprostokątna ma długość 17 cm.

R = 17 cm / 2 = 8.5 cm

Promień wynosi 8.5 cm.

Jeszcze jeden, tym razem z ułamkiem: przeciwprostokątna ma długość 3.5 cm.

R = 3.5 cm / 2 = 1.75 cm

Promień wynosi 1.75 cm.

Widzisz, jakie to proste? Niezależnie od tego, jak długa jest przeciwprostokątna, zawsze dzielisz ją przez dwa, aby znaleźć promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym.

Co jeśli nie znamy długości przeciwprostokątnej?

Czasami zadanie jest trochę bardziej skomplikowane. Możesz znać długości dwóch krótszych boków trójkąta prostokątnego (nazywanych przyprostokątnymi), ale nie znać długości przeciwprostokątnej. W takim przypadku musisz najpierw obliczyć długość przeciwprostokątnej, korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

Twierdzenie Pitagorasa mówi, że w trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych (oznaczonych jako a i b) jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej (c). Czyli:

a² + b² = c²

Żeby znaleźć c, musisz obliczyć pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów a i b:

c = √(a² + b²)

Dopiero po obliczeniu długości przeciwprostokątnej możesz zastosować wzór R = c / 2, żeby obliczyć promień okręgu opisanego.

Przykład z Twierdzeniem Pitagorasa

Załóżmy, że masz trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długości 3 cm i 4 cm. Najpierw obliczamy długość przeciwprostokątnej:

c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 cm

Teraz, gdy znamy długość przeciwprostokątnej (5 cm), możemy obliczyć promień okręgu opisanego:

R = 5 cm / 2 = 2.5 cm

Promień tego okręgu wynosi 2.5 cm.

Inny przykład. Przyprostokątne mają długości 5 cm i 12 cm.

c = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13 cm

R = 13 cm / 2 = 6.5 cm

Promień wynosi 6.5 cm.

Jeszcze jeden: przyprostokątne to 8 cm i 15 cm.

c = √(8² + 15²) = √(64 + 225) = √289 = 17 cm

R = 17 cm / 2 = 8.5 cm

Promień wynosi 8.5 cm.

Podsumowanie

Podsumowując, obliczenie promienia okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym sprowadza się do:

Znalezienia długości przeciwprostokątnej. Jeśli ją znasz, przejdź do kroku 2. Jeśli znasz tylko długości przyprostokątnych, oblicz długość przeciwprostokątnej za pomocą twierdzenia Pitagorasa (c = √(a² + b²)).
Podzielenia długości przeciwprostokątnej przez 2. Wynik to promień okręgu opisanego (R = c / 2).

To wszystko! Mam nadzieję, że teraz jest to dla Ciebie jasne i zrozumiałe. Pamiętaj, że kluczem jest przeciwprostokątna – ona jest Twoim drogowskazem do znalezienia promienia.

Powodzenia w rozwiązywaniu zadań!