Oblicz Pole Trójkąta Prostokątnego Przedstawionego Na Rysunku

Na rysunku widzimy trójkąt prostokątny. By obliczyć jego pole, potrzebujemy znać długości jego dwóch boków, które tworzą kąt prosty, czyli przyprostokątne. Nazwijmy je a i b.

Jeśli na rysunku podane są długości tych przyprostokątnych, po prostu oznaczamy je jako a i b. Jeżeli nie są podane bezpośrednio, szukamy innych informacji, które pozwolą nam je obliczyć. Mogą to być zależności między bokami (np. jeden bok jest dwa razy dłuższy od drugiego), długość przeciwprostokątnej oraz miara jednego z kątów ostrych, albo inne dane, które umożliwiają wykorzystanie twierdzenia Pitagorasa lub funkcji trygonometrycznych.

Załóżmy, że na rysunku widzimy, że a = 5 cm, a b = 8 cm.

Wzór na pole trójkąta prostokątnego jest bardzo prosty:

P = (a * b) / 2

Podstawiamy nasze wartości:

P = (5 cm * 8 cm) / 2

P = 40 cm² / 2

P = 20 cm²

Zatem pole tego konkretnego trójkąta prostokątnego wynosi 20 centymetrów kwadratowych.

Co jednak zrobić, gdy nie znamy bezpośrednio długości obu przyprostokątnych?

Kiedy Nie Znamy Bezpośrednio Przyprostokątnych

Czasami na rysunku podana jest długość tylko jednej przyprostokątnej (np. a) oraz długość przeciwprostokątnej (c). W takiej sytuacji, do wyznaczenia drugiej przyprostokątnej (b) możemy użyć twierdzenia Pitagorasa:

a² + b² = c²

Przekształcamy ten wzór, aby wyznaczyć b:

b² = c² - a²

b = √(c² - a²)

Załóżmy, że a = 6 cm, a c = 10 cm.

b = √(10² - 6²)

b = √(100 - 36)

b = √64

b = 8 cm

Teraz, gdy znamy a i b, możemy obliczyć pole:

P = (6 cm * 8 cm) / 2

P = 48 cm² / 2

P = 24 cm²

Pole tego trójkąta wynosi 24 centymetry kwadratowe.

Inna sytuacja: znamy długość jednej przyprostokątnej (np. a) oraz miarę kąta ostrego (α) przyległego do tej przyprostokątnej. Wtedy możemy skorzystać z funkcji trygonometrycznych. Tangens kąta α jest równy stosunkowi długości przeciwległej przyprostokątnej (b) do długości przyległej przyprostokątnej (a):

tan(α) = b / a

Zatem:

b = a * tan(α)

Załóżmy, że a = 7 cm, a α = 30 stopni.

b = 7 cm * tan(30°)

Wartość tan(30°) wynosi około 0.577.

b ≈ 7 cm * 0.577

b ≈ 4.04 cm

Teraz możemy obliczyć pole:

P = (7 cm * 4.04 cm) / 2

P ≈ 28.28 cm² / 2

P ≈ 14.14 cm²

Pole tego trójkąta wynosi około 14.14 centymetrów kwadratowych.

Jeszcze jedna możliwość: znamy długość przeciwprostokątnej (c) i miarę kąta ostrego (α). Możemy wykorzystać funkcje sinus i cosinus.

sin(α) = a / c -> a = c * sin(α) cos(α) = b / c -> b = c * cos(α)

Załóżmy, że c = 12 cm, a α = 45 stopni.

sin(45°) = cos(45°) ≈ 0.707

a ≈ 12 cm * 0.707

a ≈ 8.48 cm

b ≈ 12 cm * 0.707

b ≈ 8.48 cm

P = (8.48 cm * 8.48 cm) / 2

P ≈ 71.91 cm² / 2

P ≈ 35.96 cm²

Pole tego trójkąta wynosi około 35.96 centymetrów kwadratowych.

Kolejna sytuacja: znamy jedynie proporcje boków. Na przykład, wiemy, że przyprostokątne są w stosunku 3:4. Możemy zapisać a = 3x i b = 4x, gdzie x to pewna niewiadoma. Dodatkowo, znamy długość przeciwprostokątnej c. Wtedy korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:

(3x)² + (4x)² = c²

9x² + 16x² = c²

25x² = c²

x² = c² / 25

x = √(c² / 25) = c / 5

Załóżmy, że c = 15 cm.

x = 15 cm / 5 = 3 cm

a = 3 * 3 cm = 9 cm

b = 4 * 3 cm = 12 cm

P = (9 cm * 12 cm) / 2

P = 108 cm² / 2

P = 54 cm²

Pole tego trójkąta wynosi 54 centymetry kwadratowe.

Podsumowując, kluczem do obliczenia pola trójkąta prostokątnego jest zidentyfikowanie długości jego dwóch przyprostokątnych. Jeśli nie są one podane bezpośrednio, należy skorzystać z dostępnych informacji na rysunku, takich jak długość przeciwprostokątnej, miary kątów ostrych, zależności między bokami, twierdzenie Pitagorasa oraz funkcje trygonometryczne. Po wyznaczeniu długości przyprostokątnych, wystarczy podstawić je do wzoru P = (a * b) / 2, aby obliczyć pole trójkąta. Należy pamiętać o jednostkach – jeśli długości boków podane są w centymetrach, pole będzie wyrażone w centymetrach kwadratowych. Zawsze warto dokładnie przeanalizować rysunek i dane, aby wybrać najefektywniejszą metodę rozwiązania.