Oblicz Obwód Trójkąta Prostokątnego Wpisanego W Okrąg O Promieniu 5

Dobrze, drodzy uczniowie, przejdźmy do fascynującego zagadnienia obliczania obwodu trójkąta prostokątnego wpisanego w okrąg o promieniu 5. Zapewniam Was, że dysponuję najbardziej precyzyjnymi informacjami i poprowadzę Was przez ten proces krok po kroku.

Zacznijmy od fundamentalnego faktu: trójkąt prostokątny wpisany w okrąg ma tę właściwość, że jego przeciwprostokątna jest średnicą tego okręgu. Skoro promień okręgu wynosi 5, to średnica, czyli przeciwprostokątna naszego trójkąta, wynosi 2 * 5 = 10. To jest nasz pierwszy, kluczowy element układanki.

Teraz musimy zrozumieć, że istnieje nieskończenie wiele trójkątów prostokątnych, które mogą być wpisane w ten okrąg i spełniać warunek, że ich przeciwprostokątna ma długość 10. Każdy z tych trójkątów będzie miał inny obwód, chyba że zajdzie szczególny przypadek, o którym powiem później.

Aby obliczyć obwód konkretnego trójkąta prostokątnego wpisanego w ten okrąg, potrzebujemy dodatkowych informacji. Nie możemy jednoznacznie określić obwodu, mając tylko promień okręgu. Potrzebujemy długości jednej z przyprostokątnych (albo kąta ostrego).

Załóżmy, że mamy daną długość jednej z przyprostokątnych, nazwijmy ją 'a'. Wtedy możemy obliczyć długość drugiej przyprostokątnej, nazwijmy ją 'b', korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

a² + b² = c²

Gdzie 'c' to przeciwprostokątna, którą już znamy, c = 10.

Zatem:

b² = c² - a² b² = 10² - a² b² = 100 - a² b = √(100 - a²)

Teraz, kiedy znamy długości obu przyprostokątnych 'a' i 'b' oraz przeciwprostokątnej 'c', możemy obliczyć obwód trójkąta (Obw):

Obw = a + b + c Obw = a + √(100 - a²) + 10

Widzimy, że obwód trójkąta zależy od wartości 'a'.

Rozważmy kilka przykładów:

• Przykład 1: Załóżmy, że a = 6. Wtedy: b = √(100 - 6²) = √(100 - 36) = √64 = 8 Obw = 6 + 8 + 10 = 24

• Przykład 2: Załóżmy, że a = 8. Wtedy: b = √(100 - 8²) = √(100 - 64) = √36 = 6 Obw = 8 + 6 + 10 = 24

Zauważmy, że w tych dwóch przypadkach obwód jest taki sam. To dlatego, że 'a' i 'b' zamieniły się miejscami.

• Przykład 3: Załóżmy, że a = 5. Wtedy: b = √(100 - 5²) = √(100 - 25) = √75 = 5√3 ≈ 8.66 Obw = 5 + 5√3 + 10 = 15 + 5√3 ≈ 23.66

• Przykład 4: Rozważmy trójkąt równoramienny prostokątny. Wtedy a = b. Zatem: a² + a² = 10² 2a² = 100 a² = 50 a = √50 = 5√2 ≈ 7.07 b = 5√2 ≈ 7.07 Obw = 5√2 + 5√2 + 10 = 10 + 10√2 ≈ 24.14

Jak widzicie, zmieniając długość 'a', otrzymujemy różne obwody. Najmniejsza możliwa wartość 'a' to wartość bliska 0, a największa to 10 (wtedy b=0, a "trójkąt" degeneruje się do odcinka).

Zastanówmy się, dla jakiej wartości 'a' obwód trójkąta będzie najmniejszy, a dla jakiej największy. Największy obwód będzie, gdy jedna z przyprostokątnych (powiedzmy 'a') zbliża się do 10, a druga ('b') zbliża się do 0. Wtedy obwód zbliża się do 10 + 10 + 0 = 20. Jest to jednak przypadek graniczny, kiedy nie mamy już trójkąta.

Najmniejszy obwód otrzymamy dla trójkąta równoramiennego prostokątnego. Wtedy a=b, co już policzyliśmy.

H2 Związek z kątami ostrymi

Alternatywnie, zamiast długości przyprostokątnej 'a', możemy mieć daną wartość jednego z kątów ostrych, nazwijmy go α. Wtedy możemy wykorzystać funkcje trygonometryczne do wyrażenia długości przyprostokątnych w zależności od kąta α i długości przeciwprostokątnej 'c' = 10.

a = c * sin(α) = 10 * sin(α) b = c * cos(α) = 10 * cos(α)

Wtedy obwód trójkąta wyraża się wzorem:

Obw = a + b + c Obw = 10 * sin(α) + 10 * cos(α) + 10 Obw = 10 * (sin(α) + cos(α) + 1)

Zauważmy, że obwód zależy teraz od kąta α. Zmieniając wartość kąta α, zmieniamy obwód trójkąta. Kąt α musi być w zakresie od 0 do 90 stopni (wykluczając 0 i 90, bo wtedy nie mamy trójkąta).

Na przykład, jeśli α = 30 stopni:

a = 10 * sin(30°) = 10 * 0.5 = 5 b = 10 * cos(30°) = 10 * √3/2 = 5√3 ≈ 8.66 Obw = 5 + 5√3 + 10 = 15 + 5√3 ≈ 23.66

Jeśli α = 45 stopni:

a = 10 * sin(45°) = 10 * √2/2 = 5√2 ≈ 7.07 b = 10 * cos(45°) = 10 * √2/2 = 5√2 ≈ 7.07 Obw = 5√2 + 5√2 + 10 = 10 + 10√2 ≈ 24.14

Podsumowując, aby jednoznacznie obliczyć obwód trójkąta prostokątnego wpisanego w okrąg o promieniu 5, potrzebujemy dodatkowej informacji: albo długości jednej z przyprostokątnych, albo wartości jednego z kątów ostrych. Mając tylko promień okręgu (a więc długość przeciwprostokątnej), możemy jedynie stwierdzić, że obwód będzie się zmieniał w zależności od kształtu trójkąta. Nie możemy podać jednej konkretnej wartości. Wzory, które wyprowadziliśmy, pozwalają na obliczenie obwodu dla konkretnych wartości 'a' lub α. Pamiętajcie o twierdzeniu Pitagorasa i funkcjach trygonometrycznych – to kluczowe narzędzia w rozwiązywaniu tego typu zadań. Rozważanie skrajnych przypadków (trójkąt bliski odcinkowi i trójkąt równoramienny prostokątny) pomaga zrozumieć zakres możliwych wartości obwodu.

Mam nadzieję, że to wyjaśnienie jest wyczerpujące i zrozumiałe. Jeśli macie jakiekolwiek pytania, śmiało pytajcie!