Oblicz Objętość Graniastosłupa Prawidłowego Przedstawionego Na Rysunku Obok

Dobrze, przygotujmy więc szczegółowe omówienie obliczania objętości graniastosłupa prawidłowego na podstawie rysunku. Zakładam, że rysunek, o którym mowa, przedstawia graniastosłup, a my mamy wystarczające informacje, aby wyznaczyć jego objętość.

Załóżmy na początek, że mamy do czynienia z graniastosłupem prawidłowym trójkątnym. Oznacza to, że jego podstawą jest trójkąt równoboczny, a wszystkie ściany boczne są prostokątami prostopadłymi do podstawy.

Krok 1: Określenie Danych

Pierwszym krokiem jest analiza rysunku i odczytanie wszystkich dostępnych danych. Musimy wiedzieć:

• Długość boku trójkąta równobocznego w podstawie (oznaczmy ją jako a).
• Wysokość graniastosłupa (odległość między podstawami, oznaczmy ją jako H).

Jeśli na rysunku podano jedynie wysokość trójkąta w podstawie (oznaczmy ją jako h), możemy obliczyć długość boku a korzystając ze wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym: h = (a√3)/2. Przekształcając ten wzór, otrzymujemy: a = (2h)/√3. Następnie, możemy usunąć niewymierność z mianownika mnożąc licznik i mianownik przez √3, co da nam a = (2h√3)/3.

Jeśli zamiast wysokości trójkąta podano jego pole (P_p), możemy obliczyć długość boku a korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego: P_p = (a²√3)/4. Przekształcając ten wzór, otrzymujemy: a² = (4P_p)/√3. Następnie obliczamy pierwiastek kwadratowy z obu stron: a = √( (4P_p)/√3 ). Również w tym przypadku możemy usunąć niewymierność z mianownika mnożąc licznik i mianownik pod pierwiastkiem przez √3, co da nam a = √( (4P_p√3)/3 ).

Jeśli rysunek przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny, to jego podstawą jest kwadrat. Wtedy potrzebujemy znać:

• Długość boku kwadratu w podstawie (oznaczmy ją jako a).
• Wysokość graniastosłupa (oznaczmy ją jako H).

Jeśli podane jest jedynie pole kwadratu w podstawie (P_p), możemy obliczyć długość boku a poprzez obliczenie pierwiastka kwadratowego z pola: a = √P_p.

Jeśli rysunek przedstawia graniastosłup prawidłowy sześciokątny, to jego podstawą jest sześciokąt foremny. Wtedy potrzebujemy znać:

• Długość boku sześciokąta foremnego w podstawie (oznaczmy ją jako a).
• Wysokość graniastosłupa (oznaczmy ją jako H).

Wiedząc, że sześciokąt foremny składa się z sześciu trójkątów równobocznych, możemy obliczyć jego pole (P_p) ze wzoru: P_p = (3a²√3)/2. Jeśli na rysunku podano pole sześciokąta, możemy wyznaczyć długość boku a przekształcając powyższy wzór: a² = (2P_p)/(3√3). Następnie obliczamy pierwiastek kwadratowy z obu stron: a = √( (2P_p)/(3√3) ). Usuwając niewymierność z mianownika, otrzymujemy: a = √( (2P_p√3)/9 ).

Krok 2: Obliczenie Pola Podstawy

Po określeniu rodzaju graniastosłupa i długości potrzebnych boków, obliczamy pole jego podstawy (P_p).

• Graniastosłup trójkątny: Pole trójkąta równobocznego obliczamy ze wzoru: P_p = (a²√3)/4.
• Graniastosłup czworokątny: Pole kwadratu obliczamy ze wzoru: P_p = a².
• Graniastosłup sześciokątny: Pole sześciokąta foremnego obliczamy ze wzoru: P_p = (3a²√3)/2.

Krok 3: Obliczenie Objętości

Znając pole podstawy (P_p) i wysokość graniastosłupa (H), możemy obliczyć jego objętość (V) ze wzoru:

V = P_p * H

Przykład 1: Graniastosłup Trójkątny

Załóżmy, że rysunek przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny, gdzie bok trójkąta równobocznego a = 5 cm, a wysokość graniastosłupa H = 10 cm.

1. Obliczamy pole podstawy: P_p = (5²√3)/4 = (25√3)/4 cm².
2. Obliczamy objętość: V = ((25√3)/4) * 10 = (250√3)/4 = (125√3)/2 cm³.

Przykład 2: Graniastosłup Czworokątny

Załóżmy, że rysunek przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny, gdzie bok kwadratu a = 4 cm, a wysokość graniastosłupa H = 8 cm.

1. Obliczamy pole podstawy: P_p = 4² = 16 cm².
2. Obliczamy objętość: V = 16 * 8 = 128 cm³.

Przykład 3: Graniastosłup Sześciokątny

Załóżmy, że rysunek przedstawia graniastosłup prawidłowy sześciokątny, gdzie bok sześciokąta foremnego a = 3 cm, a wysokość graniastosłupa H = 6 cm.

1. Obliczamy pole podstawy: P_p = (3 * 3²√3)/2 = (27√3)/2 cm².
2. Obliczamy objętość: V = ((27√3)/2) * 6 = (162√3)/2 = 81√3 cm³.

Pamiętajmy, że istotne jest dokładne odczytanie danych z rysunku i poprawne podstawienie ich do odpowiednich wzorów. Należy również zwrócić uwagę na jednostki miar i konsekwentnie ich używać.

Ważne jest, aby na początku zidentyfikować, jaki typ graniastosłupa przedstawia rysunek. Każdy typ ma specyficzny wzór na pole podstawy, co jest kluczowe do poprawnego obliczenia objętości. Pamiętajmy o staranności i dokładności, a obliczenie objętości stanie się prostym zadaniem.

Jeśli na rysunku znajdują się dodatkowe informacje, takie jak kąty, należy je odpowiednio wykorzystać do obliczenia długości boków podstawy, korzystając z funkcji trygonometrycznych (sinus, cosinus, tangens) lub twierdzenia Pitagorasa, jeśli to konieczne. Im więcej informacji posiadamy, tym większa szansa na dokładne obliczenie objętości graniastosłupa.