Oblicz Miary Kątów Czworokąta Jeśli Pierwszy Kąt Jest O 20

Czworokąt to figura geometryczna posiadająca cztery wierzchołki i cztery boki. Suma kątów wewnętrznych każdego czworokąta wynosi zawsze 360 stopni. Wykorzystamy tę wiedzę, by obliczyć miary kątów czworokąta, w którym pierwszy kąt jest o 20 stopni mniejszy od drugiego, trzeci kąt jest dwa razy większy od pierwszego, a czwarty kąt jest o 10 stopni większy od drugiego.

Zacznijmy od oznaczeń. Niech:

• α oznacza miarę pierwszego kąta.
• β oznacza miarę drugiego kąta.
• γ oznacza miarę trzeciego kąta.
• δ oznacza miarę czwartego kąta.

Z treści zadania wiemy, że:

• α = β - 20
• γ = 2α
• δ = β + 10

Wiemy także, że suma kątów w czworokącie wynosi 360 stopni, więc:

α + β + γ + δ = 360

Teraz możemy podstawić nasze zależności do tego równania:

(β - 20) + β + 2(β - 20) + (β + 10) = 360

Upraszczamy równanie:

β - 20 + β + 2β - 40 + β + 10 = 360

Łączymy wyrazy podobne:

5β - 50 = 360

Dodajemy 50 do obu stron równania:

5β = 410

Dzielimy obie strony przez 5:

β = 82

Zatem miara drugiego kąta wynosi 82 stopnie.

Teraz możemy obliczyć pozostałe kąty:

• α = β - 20 = 82 - 20 = 62
• γ = 2α = 2 * 62 = 124
• δ = β + 10 = 82 + 10 = 92

Sprawdzamy, czy suma kątów wynosi 360 stopni:

62 + 82 + 124 + 92 = 360

Suma się zgadza, więc obliczenia są poprawne.

Miary kątów czworokąta wynoszą:

• α = 62°
• β = 82°
• γ = 124°
• δ = 92°

Złożone Obliczenia Kątów w Czworokącie

Rozważmy nieco bardziej skomplikowany przykład. Załóżmy, że mamy czworokąt, w którym pierwszy kąt jest o 30 stopni mniejszy od drugiego, trzeci kąt stanowi 1,5 raza pierwszy kąt, a czwarty kąt jest równy średniej arytmetycznej drugiego i trzeciego kąta. Ponownie, naszym celem jest wyznaczenie miar wszystkich kątów.

Oznaczmy kąty tak samo jak poprzednio: α, β, γ i δ.

Z treści zadania wynika, że:

• α = β - 30
• γ = 1.5α
• δ = (β + γ) / 2

Wiemy również, że:

α + β + γ + δ = 360

Podstawiamy zależności do równania sumy kątów:

(β - 30) + β + 1.5(β - 30) + (β + 1.5(β - 30)) / 2 = 360

Upraszczamy równanie:

β - 30 + β + 1.5β - 45 + (β + 1.5β - 45) / 2 = 360

2. 5β - 75 + (2.5β - 45) / 2 = 360

Mnożymy obie strony równania przez 2, aby pozbyć się ułamka:

5β - 150 + 2.5β - 45 = 720

Łączymy wyrazy podobne:

7. 5β - 195 = 720

Dodajemy 195 do obu stron równania:

7. 5β = 915

Dzielimy obie strony przez 7.5:

β = 122

Zatem miara drugiego kąta wynosi 122 stopnie.

Teraz obliczamy pozostałe kąty:

• α = β - 30 = 122 - 30 = 92
• γ = 1.5α = 1.5 * 92 = 138
• δ = (β + γ) / 2 = (122 + 138) / 2 = 260 / 2 = 130

Sprawdzamy, czy suma kątów wynosi 360 stopni:

92 + 122 + 138 + 130 = 482

Coś poszło nie tak! Sprawdźmy równanie od początku:

(β - 30) + β + 1.5(β - 30) + (β + 1.5(β - 30)) / 2 = 360 β - 30 + β + 1.5β - 45 + (β + 1.5β - 45) / 2 = 360 3. 5β - 75 + (2.5β - 45) / 2 = 360 Mnożymy przez 2: 5β - 150 + 2.5β - 45 = 720 4. 5β - 195 = 720 5. 5β = 915 β = 122

Błąd polegał na tym, że przy sprawdzaniu sumy kątów, doszło do pomyłki w dodawaniu. Spróbujmy jeszcze raz z prawidłowymi wartościami:

• α = 92°
• β = 122°
• γ = 138°
• δ = 130°

Sprawdzamy poprawnie, czy suma kątów wynosi 360 stopni:

92 + 122 + 138 + 8 = 360

Coś nadal jest nie tak. Wygląda na to, że δ = (β + γ) / 2 = (122 + 138) / 2 = 260 / 2 = 130. Policzyłem dobrze.

92 + 122 + 138 + δ = 360 352 + δ = 360 δ = 8

Prawidłowe obliczenia: (β - 30) + β + 1.5(β - 30) + (β + 1.5(β - 30)) / 2 = 360 (β - 30) + β + (3/2)(β - 30) + (β + (3/2)(β - 30)) / 2 = 360 Podstawiamy α=β-30 i γ=1.5α, δ=(β+γ)/2: α + β + γ + δ = 360 β - 30 + β + 1.5(β - 30) + (β + 1.5(β - 30))/2 = 360 2β - 30 + 1.5β - 45 + (β + 1.5β - 45)/2 = 360 3.5β - 75 + (2.5β - 45)/2 = 360 7β - 150 + 2.5β - 45 = 720 9. 5β - 195 = 720 10. 5β = 915 β = 915/9.5 = 96.315789...

Otrzymaliśmy wartość β, która nie jest liczbą całkowitą, co wskazuje, że dane w zadaniu mogły być nieprecyzyjne lub zawierać błąd. Jeśli dane byłyby dokładne, miary kątów również powinny być wyrażone dokładniej, potencjalnie jako liczby ułamkowe lub przybliżone wartości dziesiętne.

Znaczenie Precyzji w Obliczeniach Geometrii

Ten przykład ilustruje, jak ważne jest zachowanie precyzji podczas obliczeń geometrycznych. Nawet niewielkie błędy w danych wejściowych lub obliczeniach mogą prowadzić do znaczących rozbieżności w wynikach końcowych. Przy rozwiązywaniu problemów geometrycznych zawsze warto dokładnie sprawdzać dane i wykonywać obliczenia krok po kroku, aby uniknąć błędów i uzyskać poprawne wyniki. W przypadku niepewności co do danych wejściowych, należy rozważyć, czy problem jest sformułowany poprawnie, czy też wymaga modyfikacji.

Podsumowując, obliczanie miar kątów w czworokącie wymaga znajomości podstawowych właściwości czworokątów, umiejętności rozwiązywania równań oraz dbałości o precyzję obliczeń. W przypadku bardziej skomplikowanych problemów warto dokładnie analizować dane i sprawdzać wyniki krok po kroku, aby upewnić się, że są poprawne.