histats.com
Piotr Szymczak Logo

Oblicz Dlugosc Srodkowej Trojkata Abc Poprowadzonej Z Wierzcholka C

Author • Opublikowano dnia
Oblicz Dlugosc Srodkowej Trojkata Abc Poprowadzonej Z Wierzcholka C

Dobrze, przygotujmy szczegółową odpowiedź na pytanie o obliczanie długości środkowej trójkąta ABC poprowadzonej z wierzchołka C.

Zatem, przejdźmy do konkretów. Aby obliczyć długość środkowej trójkąta ABC, poprowadzonej z wierzchołka C, musimy przede wszystkim znać współrzędne wierzchołków A, B i C. Załóżmy, że współrzędne te wynoszą odpowiednio: A(x<sub>A</sub>, y<sub>A</sub>), B(x<sub>B</sub>, y<sub>B</sub>) i C(x<sub>C</sub>, y<sub>C</sub>). Środkowa poprowadzona z wierzchołka C łączy ten wierzchołek ze środkiem boku AB. Oznaczmy środek boku AB jako punkt S.

Pierwszym krokiem jest znalezienie współrzędnych punktu S, który jest środkiem odcinka AB. Współrzędne środka odcinka obliczamy jako średnią arytmetyczną współrzędnych końców odcinka. Zatem:

x<sub>S</sub> = (x<sub>A</sub> + x<sub>B</sub>) / 2 y<sub>S</sub> = (y<sub>A</sub> + y<sub>B</sub>) / 2

Mając współrzędne punktu S(x<sub>S</sub>, y<sub>S</sub>) oraz współrzędne wierzchołka C(x<sub>C</sub>, y<sub>C</sub>), możemy obliczyć długość środkowej CS, korzystając ze wzoru na odległość między dwoma punktami w układzie współrzędnych. Długość odcinka CS, oznaczona jako |CS|, wyraża się wzorem:

|CS| = √((x<sub>S</sub> - x<sub>C</sub>)<sup>2</sup> + (y<sub>S</sub> - y<sub>C</sub>)<sup>2</sup>)

Podstawiając wcześniej obliczone współrzędne punktu S, otrzymujemy:

|CS| = √(((x<sub>A</sub> + x<sub>B</sub>) / 2 - x<sub>C</sub>)<sup>2</sup> + ((y<sub>A</sub> + y<sub>B</sub>) / 2 - y<sub>C</sub>)<sup>2</sup>)

Ten wzór pozwala na bezpośrednie obliczenie długości środkowej CS, znając współrzędne wierzchołków trójkąta ABC.

Alternatywne Metody Obliczania Długości Środkowej

Istnieją również alternatywne metody obliczania długości środkowej, które mogą być przydatne w zależności od dostępnych danych. Jeśli na przykład znamy długości boków trójkąta, możemy skorzystać ze wzoru Stewarta. W przypadku środkowej poprowadzonej z wierzchołka C, oznaczmy długość boku AB jako c, długość boku BC jako a, długość boku AC jako b, oraz długość środkowej CS jako m<sub>c</sub>. Punkt S dzieli bok AB na dwa odcinki o długości c/2 każdy. Wzór Stewarta dla środkowej CS wygląda następująco:

a<sup>2</sup> * (c/2) + b<sup>2</sup> * (c/2) = c * (m<sub>c</sub><sup>2</sup> + (c/2)<sup>2</sup>)

Przekształcając ten wzór, możemy wyznaczyć długość środkowej m<sub>c</sub>:

m<sub>c</sub><sup>2</sup> = (2a<sup>2</sup> + 2b<sup>2</sup> - c<sup>2</sup>) / 4 m<sub>c</sub> = √((2a<sup>2</sup> + 2b<sup>2</sup> - c<sup>2</sup>) / 4) m<sub>c</sub> = (1/2)√(2a<sup>2</sup> + 2b<sup>2</sup> - c<sup>2</sup>)

Ten wzór pozwala obliczyć długość środkowej, znając jedynie długości boków trójkąta.

Kolejna metoda, choć mniej bezpośrednia, polega na wykorzystaniu twierdzenia cosinusów. Najpierw obliczamy cosinus kąta przy wierzchołku A lub B (w zależności od tego, które dane są bardziej dostępne) za pomocą twierdzenia cosinusów:

a<sup>2</sup> = b<sup>2</sup> + c<sup>2</sup> - 2bc * cos(A) b<sup>2</sup> = a<sup>2</sup> + c<sup>2</sup> - 2ac * cos(B)

Następnie, mając cosinus kąta A (lub B), możemy obliczyć długość środkowej CS, ponownie korzystając z twierdzenia cosinusów w trójkącie ACS (lub BCS). Oznaczmy długość odcinka AS (lub BS) jako c/2. W trójkącie ACS mamy:

m<sub>c</sub><sup>2</sup> = b<sup>2</sup> + (c/2)<sup>2</sup> - 2 * b * (c/2) * cos(A) m<sub>c</sub><sup>2</sup> = b<sup>2</sup> + (c<sup>2</sup>/4) - bc * cos(A)

Podstawiając wcześniej obliczony cos(A), możemy wyznaczyć długość środkowej m<sub>c</sub>. Analogicznie postępujemy, wykorzystując kąt B i trójkąt BCS.

Wybór metody zależy od dostępnych danych. Jeżeli znamy współrzędne wierzchołków, najprościej jest skorzystać ze wzoru na odległość między dwoma punktami. Jeżeli znamy długości boków, wygodniej jest użyć wzoru Stewarta. Natomiast, jeśli znamy kąty i boki, możemy zastosować twierdzenie cosinusów.

Przykłady Obliczeniowe

Przykład 1:

Załóżmy, że mamy trójkąt ABC o wierzchołkach A(1, 2), B(5, 4) i C(3, 6). Obliczmy długość środkowej poprowadzonej z wierzchołka C.

  1. Obliczamy współrzędne punktu S, środka boku AB: x<sub>S</sub> = (1 + 5) / 2 = 3 y<sub>S</sub> = (2 + 4) / 2 = 3 Zatem S(3, 3).

  2. Obliczamy długość środkowej CS: |CS| = √((3 - 3)<sup>2</sup> + (3 - 6)<sup>2</sup>) = √(0<sup>2</sup> + (-3)<sup>2</sup>) = √9 = 3

Długość środkowej poprowadzonej z wierzchołka C wynosi 3.

Przykład 2:

Załóżmy, że mamy trójkąt ABC o bokach długości a = 5, b = 7, c = 8. Obliczmy długość środkowej poprowadzonej z wierzchołka C.

  1. Korzystamy ze wzoru Stewarta: m<sub>c</sub> = (1/2)√(2a<sup>2</sup> + 2b<sup>2</sup> - c<sup>2</sup>) m<sub>c</sub> = (1/2)√(2 * 5<sup>2</sup> + 2 * 7<sup>2</sup> - 8<sup>2</sup>) m<sub>c</sub> = (1/2)√(2 * 25 + 2 * 49 - 64) m<sub>c</sub> = (1/2)√(50 + 98 - 64) m<sub>c</sub> = (1/2)√84 m<sub>c</sub> = (1/2) * 2√21 m<sub>c</sub> = √21

Długość środkowej poprowadzonej z wierzchołka C wynosi √21.

Przykład 3:

Rozważmy trójkąt ABC, gdzie a = 5, b = 6, c = 7. Chcemy znaleźć długość środkowej poprowadzonej z wierzchołka C.

  1. Znajdujemy cosinus kąta A: a<sup>2</sup> = b<sup>2</sup> + c<sup>2</sup> - 2bc * cos(A) 5<sup>2</sup> = 6<sup>2</sup> + 7<sup>2</sup> - 2 * 6 * 7 * cos(A) 25 = 36 + 49 - 84 * cos(A) 84 * cos(A) = 60 cos(A) = 60 / 84 = 5 / 7

  2. Obliczamy długość środkowej m<sub>c</sub>: m<sub>c</sub><sup>2</sup> = b<sup>2</sup> + (c/2)<sup>2</sup> - bc * cos(A) m<sub>c</sub><sup>2</sup> = 6<sup>2</sup> + (7/2)<sup>2</sup> - 6 * 7 * (5/7) m<sub>c</sub><sup>2</sup> = 36 + 49/4 - 30 m<sub>c</sub><sup>2</sup> = 6 + 49/4 m<sub>c</sub><sup>2</sup> = 24/4 + 49/4 m<sub>c</sub><sup>2</sup> = 73/4 m<sub>c</sub> = √(73/4) = (√73) / 2

Długość środkowej poprowadzonej z wierzchołka C wynosi (√73) / 2.

Zatem, w zależności od danych, możemy efektywnie obliczyć długość środkowej trójkąta, korzystając z odpowiednich wzorów i metod. Pamiętajmy, że kluczem jest poprawne zidentyfikowanie dostępnych informacji i dobranie najwłaściwszego podejścia. Wszystkie przedstawione metody prowadzą do poprawnego wyniku, o ile są stosowane z należytą precyzją.

Oblicz Dlugosc Srodkowej Trojkata Abc Poprowadzonej Z Wierzcholka C Oblicz obwod trojkata abc oraz jego pole a) Kat 45stopni po lewej
Oblicz Dlugosc Srodkowej Trojkata Abc Poprowadzonej Z Wierzcholka C Oblicz Pole Trójkata Równobocznego O Boku 8 Cm - Margaret Wiegel
Oblicz Dlugosc Srodkowej Trojkata Abc Poprowadzonej Z Wierzcholka C Jak Obliczyc Pole Trojkata Wzor
Oblicz Dlugosc Srodkowej Trojkata Abc Poprowadzonej Z Wierzcholka C Obwod Trojkata Abc Wynosi 38 Cm - Margaret Wiegel
Oblicz Dlugosc Srodkowej Trojkata Abc Poprowadzonej Z Wierzcholka C Jak Obliczy Pole Trojkata - Image to u
Oblicz Dlugosc Srodkowej Trojkata Abc Poprowadzonej Z Wierzcholka C Oblicz Pole Trójkata Równobocznego O Boku 8 Cm - Margaret Wiegel
Oblicz Dlugosc Srodkowej Trojkata Abc Poprowadzonej Z Wierzcholka C Obwod Trojkata Abc Wynosi 38 Cm - Margaret Wiegel
Oblicz Dlugosc Srodkowej Trojkata Abc Poprowadzonej Z Wierzcholka C Jak Obliczyc Pole Trojkata Wzor
Oblicz Dlugosc Srodkowej Trojkata Abc Poprowadzonej Z Wierzcholka C Jak Obliczyc Pole Trojkata Rownobocznego - Image to u

Podobne artykuły, które mogą Cię zainteresować