Objętość Graniastosłupa Prawidłowego Narysowanego Obok Jest Równa

No i dobrze, porozmawiajmy o tym, jak obliczyć objętość graniastosłupa prawidłowego! Pewnie masz przed sobą jakiś rysunek, i dobrze, bo rysunek zawsze pomaga.

Zacznijmy od podstaw. Co to w ogóle jest graniastosłup prawidłowy? To taki graniastosłup, który ma w podstawie figurę foremną – czyli taką, która ma wszystkie boki i wszystkie kąty równe. Mogą to być trójkąty równoboczne, kwadraty, pięciokąty foremne, sześciokąty foremne i tak dalej, im więcej boków, tym bliżej mu do koła. Dodatkowo, graniastosłup prawidłowy ma ściany boczne prostopadłe do podstawy. Wyobraź sobie pudełko czekoladek Toblerone – to jest przykład graniastosłupa prawidłowego trójkątnego. Albo kostka Rubika – to jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, czyli sześcian.

No dobra, ale jak policzyć jego objętość? To jest proste! Potrzebujemy tylko dwóch rzeczy:

1. Pola podstawy (oznaczmy je jako P)
2. Wysokości graniastosłupa (oznaczmy ją jako H)

A wzór jest super prosty:

Objętość (V) = Pole podstawy (P) * Wysokość (H)

Czyli V = P * H

To wszystko! Brzmi banalnie, prawda? No to teraz zobaczmy, jak to działa w praktyce.

Policzmy pole podstawy

Najpierw musimy dowiedzieć się, jaką figurę mamy w podstawie. Czy to trójkąt równoboczny, kwadrat, sześciokąt foremny, czy coś innego? Każda z tych figur ma swój własny wzór na pole.

Jeśli w podstawie jest trójkąt równoboczny:

• Musisz znać długość jego boku (oznaczmy go jako 'a').
• Wzór na pole trójkąta równobocznego to: P = (a² * √3) / 4

Jeśli w podstawie jest kwadrat:

• Musisz znać długość jego boku (oznaczmy go jako 'a').
• Wzór na pole kwadratu to: P = a²

Jeśli w podstawie jest pięciokąt foremny:

• Musisz znać długość jego boku (oznaczmy go jako 'a').
• Wzór na pole pięciokąta foremnego to: P = (5a² * √(5+2√5)) / 4 (Trochę bardziej skomplikowany, ale spokojnie, dasz radę!)

Jeśli w podstawie jest sześciokąt foremny:

• Musisz znać długość jego boku (oznaczmy go jako 'a').
• Sześciokąt foremny składa się z sześciu trójkątów równobocznych. Więc możesz policzyć pole jednego trójkąta (jak wyżej) i pomnożyć je przez 6. Czyli: P = 6 * (a² * √3) / 4 albo upraszczając: P = (3a² * √3) / 2

Pamiętaj, żeby dobrze odczytać dane z rysunku. Zobacz, czy masz podaną długość boku, promień okręgu wpisanego w podstawę (wtedy trzeba to przeliczyć na długość boku), czy może coś innego.

Wyznaczmy wysokość

To zazwyczaj jest najłatwiejsza część. Wysokość graniastosłupa to po prostu odległość między jego podstawami. Na rysunku powinna być oznaczona jako H. Czasami jest podana bezpośrednio, a czasami trzeba ją wyliczyć z jakichś innych danych (np. korzystając z twierdzenia Pitagorasa, jeśli masz podany kąt nachylenia ściany bocznej).

Kilka przykładów:

Przykład 1: Graniastosłup prawidłowy trójkątny

Załóżmy, że w podstawie masz trójkąt równoboczny o boku a = 4 cm, a wysokość graniastosłupa wynosi H = 10 cm.

1. Liczymy pole podstawy: P = (4² * √3) / 4 = (16 * √3) / 4 = 4√3 cm²
2. Liczymy objętość: V = P * H = 4√3 cm² * 10 cm = 40√3 cm³

Przykład 2: Graniastosłup prawidłowy czworokątny (czyli sześcian)

Załóżmy, że w podstawie masz kwadrat o boku a = 5 cm, a wysokość graniastosłupa wynosi H = 5 cm (bo to sześcian, więc wszystkie boki są równe).

1. Liczymy pole podstawy: P = 5² cm² = 25 cm²
2. Liczymy objętość: V = P * H = 25 cm² * 5 cm = 125 cm³

Przykład 3: Graniastosłup prawidłowy sześciokątny

Załóżmy, że w podstawie masz sześciokąt foremny o boku a = 2 cm, a wysokość graniastosłupa wynosi H = 8 cm.

1. Liczymy pole podstawy: P = (3 * 2² * √3) / 2 = (3 * 4 * √3) / 2 = 6√3 cm²
2. Liczymy objętość: V = P * H = 6√3 cm² * 8 cm = 48√3 cm³

Ważne uwagi:

• Zwracaj uwagę na jednostki! Jeśli bok podstawy jest podany w centymetrach, a wysokość w metrach, to najpierw zamień wszystko na jedną jednostkę (np. na centymetry), żeby wynik był poprawny. Pamiętaj, że objętość wyrażamy w jednostkach sześciennych (cm³, m³, dm³ itd.).
• Jeśli masz podane tylko niektóre dane, to spróbuj je wykorzystać do obliczenia brakujących wartości. Czasami trzeba trochę pokombinować i użyć różnych wzorów z geometrii.
• Sprawdź, czy wynik ma sens. Jeśli wychodzi ci objętość ujemna, to znaczy, że gdzieś popełniłeś błąd.

Podsumowując:

1. Sprawdź, jaką figurę masz w podstawie.
2. Policz pole podstawy (używając odpowiedniego wzoru).
3. Określ wysokość graniastosłupa.
4. Pomnóż pole podstawy przez wysokość, żeby otrzymać objętość.

No i to tyle! Teraz powinieneś bez problemu poradzić sobie z obliczeniem objętości dowolnego graniastosłupa prawidłowego, który masz narysowany obok. Powodzenia!