Nowa Era Sprawdzian Rozłóż Wielomian 1-4x2 9x4
Rozkład wielomianu na czynniki to proces przedstawienia go w postaci iloczynu prostszych wyrażeń. Jest to bardzo przydatna umiejętność w algebrze. Pozwala uprościć obliczenia i rozwiązywać równania. Zobaczmy, jak to zrobić na przykładzie 1 - 4x2 + 9x4.
Najpierw warto uporządkować wielomian. Zapiszmy go w kolejności malejących potęg zmiennej x: 9x4 - 4x2 + 1. Uporządkowanie ułatwia dostrzeżenie pewnych wzorów. Teraz musimy zastanowić się, czy możemy zastosować jakieś znane wzory skróconego mnożenia.
Przyjrzyjmy się wyrażeniu 9x4 - 4x2 + 1. Może przypominać kwadrat różnicy. Pamiętajmy, że (a - b)2 = a2 - 2ab + b2. Zastanówmy się, czy możemy dopasować nasz wielomian do tej formy.
Spróbujmy "oszukać" i dodać oraz odjąć pewne wyrażenie, aby uzyskać postać kwadratu. Dodajmy i odejmijmy 8x2: 9x4 - 4x2 + 1 + 8x2 - 8x2. To oczywiście nie zmienia wartości wyrażenia, ale pozwala na przekształcenia.
Teraz pogrupujmy wyrazy tak, aby utworzyć kwadrat: 9x4 + 4x2 + 1 - 8x2. Zauważmy, że 9x4 + 4x2 + 1 *nie* jest kwadratem. Ale gdybyśmy mieli 9x4 + 6x2 + 1, to byłby to (3x2 + 1)2. Dodajmy i odejmijmy 2x2. W rezultacie, nasze wyrażenie staje się bardziej skomplikowane, co nie jest celem.
Spróbujmy inaczej. Zamiast dodawać i odejmować, zastanówmy się nad innym podejściem. Czy możemy to rozłożyć na iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych? Załóżmy, że 9x4 - 4x2 + 1 = (ax2 + bx + c)(dx2 + ex + f). Mnożenie takich wyrażeń byłoby dość pracochłonne.
Widzimy, że (3x2 - 1)2 = 9x4 - 6x2 + 1. Nasz wielomian to 9x4 - 4x2 + 1. Różnica to 2x2. Niestety, nie prowadzi to do łatwego rozkładu.
W tym przypadku, wielomianu 9x4 - 4x2 + 1 **nie da się** rozłożyć na czynniki rzeczywiste w prosty sposób. Metody, które zwykle stosujemy (wzory skróconego mnożenia, grupowanie), nie prowadzą do celu. Jest to dobry przykład na to, że nie każdy wielomian da się łatwo rozłożyć.
Ważne: Istnieją bardziej zaawansowane metody rozkładu wielomianów, ale wykraczają one poza podstawowy zakres materiału. Czasami trzeba po prostu zaakceptować, że pewne wyrażenia są nierozkładalne. Rozkład wielomianu to ważna umiejętność, ale nie zawsze jest możliwa do zrealizowania w prosty sposób.
