Naszkicuj Wykres Funkcji Fi Podaj Jej Zbiór Wartości

Dzień dobry wszystkim! Dzisiaj zajmiemy się rysowaniem wykresu funkcji φ (często nazywanej funkcją Eulera) i określeniem jej zbioru wartości. Zacznijmy od początku!

Funkcja φ(n) (czytaj: "fi od n") mówi nam, ile jest liczb naturalnych mniejszych od n i jednocześnie z n względnie pierwszych. Relatywnie pierwsze znaczy, że ich największy wspólny dzielnik (NWD) wynosi 1.

Obliczanie Wartości Funkcji φ(n)

Zanim zaczniemy rysować, musimy zrozumieć, jak obliczyć wartości φ(n) dla różnych n.

• φ(1) = 1: Jedynka jest względnie pierwsza sama ze sobą.
• φ(2) = 1: Tylko 1 jest mniejsze od 2 i względnie pierwsze z 2.
• φ(3) = 2: 1 i 2 są mniejsze od 3 i względnie pierwsze z 3.
• φ(4) = 2: 1 i 3 są mniejsze od 4 i względnie pierwsze z 4.
• φ(5) = 4: 1, 2, 3 i 4 są mniejsze od 5 i względnie pierwsze z 5.
• φ(6) = 2: 1 i 5 są mniejsze od 6 i względnie pierwsze z 6.

I tak dalej...

Możemy zauważyć pewne zależności:

• Jeśli p jest liczbą pierwszą, to φ(p) = p-1. Na przykład φ(7) = 6, φ(11) = 10, itd. Dzieje się tak dlatego, że każda liczba mniejsza od liczby pierwszej jest z nią względnie pierwsza.

• Jeśli znamy rozkład liczby na czynniki pierwsze, możemy użyć wzoru:

  φ(n) = n * (1 - 1/p₁) * (1 - 1/p₂) * ... * (1 - 1/pk)

  gdzie p₁, p₂, ..., pk to różne czynniki pierwsze liczby n.

  Przykład: n = 12 = 2² * 3. Czynniki pierwsze to 2 i 3. Zatem: φ(12) = 12 * (1 - 1/2) * (1 - 1/3) = 12 * (1/2) * (2/3) = 4

  Oznacza to, że spośród liczb od 1 do 12, dokładnie 4 są względnie pierwsze z 12 (są to 1, 5, 7 i 11).

Rysowanie Wykresu Funkcji φ(n)

Teraz przejdźmy do rysowania wykresu. Pamiętaj, że funkcja Eulera jest zdefiniowana tylko dla liczb naturalnych. Oznacza to, że nasz wykres będzie składał się z punktów, a nie z ciągłej linii.

1. Oś X: Oś pozioma reprezentuje argument funkcji, czyli liczbę naturalną n.
2. Oś Y: Oś pionowa reprezentuje wartość funkcji φ(n).
3. Punkty: Dla każdego n, obliczamy φ(n) i zaznaczamy punkt o współrzędnych (n, φ(n)).

Będziemy potrzebować trochę obliczeń, żeby narysować wykres. Policzmy wartości dla n od 1 do 20:

• φ(1) = 1
• φ(2) = 1
• φ(3) = 2
• φ(4) = 2
• φ(5) = 4
• φ(6) = 2
• φ(7) = 6
• φ(8) = 4
• φ(9) = 6
• φ(10) = 4
• φ(11) = 10
• φ(12) = 4
• φ(13) = 12
• φ(14) = 6
• φ(15) = 8
• φ(16) = 8
• φ(17) = 16
• φ(18) = 6
• φ(19) = 18
• φ(20) = 8

Zaznaczamy te punkty na wykresie. Zobaczysz, że punkty są rozproszone i nie tworzą żadnej oczywistej, gładkiej krzywej. Wartości φ(n) "skaczą" w górę i w dół.

Wnioski z Wykresu

Patrząc na wykres, możemy wyciągnąć pewne wnioski:

• Wartości funkcji φ(n) są zawsze liczbami naturalnymi.
• Funkcja φ(n) przyjmuje wartość 1 tylko dla n=1 i n=2.
• Dla liczb pierwszych p, punkt (p, p-1) leży na wykresie. To powoduje, że wykres "wystrzeliwuje" w górę dla argumentów będących liczbami pierwszymi.
• Wykres jest bardzo nieregularny. Nie ma żadnej prostej formuły, która opisywałaby zachowanie funkcji φ(n).

Zbiór Wartości Funkcji φ(n)

Teraz zajmiemy się określeniem zbioru wartości funkcji φ(n). Zbiór wartości to zbiór wszystkich możliwych wyników, które funkcja może przyjąć. Innymi słowy, to wszystkie liczby, które pojawiają się na osi Y naszego wykresu.

Żeby określić zbiór wartości, musimy zastanowić się, jakie liczby mogą być wynikiem funkcji φ(n).

• Wiemy, że φ(n) jest zawsze liczbą naturalną. Zatem zbiór wartości jest podzbiorem liczb naturalnych.
• Wiemy, że φ(1) = 1 i φ(2) = 1. Zatem 1 należy do zbioru wartości.
• Czy każda liczba naturalna należy do zbioru wartości? Okazuje się, że nie. Na przykład, nie istnieje taka liczba naturalna n, dla której φ(n) = 3. To wynika z własności funkcji Eulera i jej związku z liczbami pierwszymi.

Jak znaleźć wszystkie liczby w zbiorze wartości? To jest trudne pytanie i nie ma prostej odpowiedzi. Możemy szukać konkretnych wartości, analizując kolejne liczby naturalne:

• φ(n) = 1 dla n=1 i n=2.
• φ(n) = 2 dla n=3, 4 i 6.
• φ(n) = 4 dla n=5, 8, 10 i 12.
• φ(n) = 6 dla n=7, 9, 14, 18.
• φ(n) = 8 dla n=15, 16, 20, 24, 30.
• φ(n) = 10 dla n=11, 22.
• φ(n) = 12 dla n=13, 21, 26, 28, 36, 42.

I tak dalej. Możemy zauważyć, że niektóre liczby pojawiają się jako wartości funkcji φ(n), a inne nie. Wartości, które się pojawiają, tworzą zbiór wartości.

Formalny Zapis Zbioru Wartości

Zbiór wartości funkcji φ(n) możemy zapisać jako:

{ φ(n) : n ∈ ℕ }

Czyli "zbiór wszystkich wartości φ(n), gdzie n jest liczbą naturalną". Niestety, nie da się go opisać w prostszy sposób, np. podać wzoru, który generuje wszystkie elementy zbioru.

Podsumowanie

Narysowaliśmy wykres funkcji Eulera φ(n) i omówiliśmy, jak wygląda. Zauważyliśmy, że wykres jest nieregularny i składa się z pojedynczych punktów. Następnie zajęliśmy się określeniem zbioru wartości funkcji φ(n) i zrozumieliśmy, że nie każda liczba naturalna należy do tego zbioru. Choć nie możemy podać prostego wzoru na zbiór wartości, to możemy go opisać jako zbiór wszystkich możliwych wyników, które funkcja φ(n) może przyjąć dla liczb naturalnych.

Mam nadzieję, że to wyjaśnienie było pomocne! Pamiętajcie, że zrozumienie funkcji Eulera wymaga praktyki i obliczania wartości dla różnych liczb. Powodzenia!