Naszkicuj Wykres Funkcji F Podaj Jej Przedziały Monotoniczności

Zacznijmy naszą podróż po świecie funkcji i ich wykresów! Zajmiemy się teraz szkicowaniem wykresów i określaniem przedziałów monotoniczności. Przygotujmy ołówki, papier i… zapnijmy pasy!

Pierwszy przykład? Niech będzie funkcja f(x) = x^2 - 4x + 3. Co robimy? Szukamy wierzchołka. Wzór? x_w = -b/2a. W naszym przypadku? x_w = -(-4)/(21) = 2. To teraz y_w? f(2) = 2^2 - 42 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1. Wierzchołek mamy! (2, -1).

Teraz popatrzmy na współczynnik przy x^2. Jest dodatni! Więc ramiona paraboli idą do góry. Zaznaczamy wierzchołek w układzie współrzędnych.

Gdzie funkcja przecina oś OX? Szukamy miejsc zerowych. Czyli rozwiązujemy równanie x^2 - 4x + 3 = 0. Delta? Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4. Pierwiastek z delty? 2.

x_1 = (-b - pierwiastek z delty) / 2a = (4 - 2) / 2 = 1. x_2 = (-b + pierwiastek z delty) / 2a = (4 + 2) / 2 = 3.

Miejsca zerowe to x = 1 oraz x = 3. Zaznaczamy je na osi OX.

Gdzie funkcja przecina oś OY? Podstawiamy x = 0 do wzoru funkcji. f(0) = 0^2 - 4*0 + 3 = 3. Punkt przecięcia z osią OY to (0, 3). Zaznaczamy.

Mamy wierzchołek, miejsca zerowe, punkt przecięcia z osią OY. Możemy już szkicować parabolę. Staramy się, żeby była w miarę symetryczna.

Przedziały monotoniczności? Funkcja malejąca dla x należącego do przedziału (-nieskończoność, 2). Funkcja rosnąca dla x należącego do przedziału (2, +nieskończoność).

Kolejny przykład! f(x) = -x^2 + 2x + 8. Znowu szukamy wierzchołka. x_w = -b/2a = -2 / (2*(-1)) = 1. y_w = f(1) = -1^2 + 2*1 + 8 = -1 + 2 + 8 = 9. Wierzchołek: (1, 9).

Współczynnik przy x^2 jest ujemny. Ramiona paraboli idą w dół. Zaznaczamy wierzchołek.

Miejsca zerowe? -x^2 + 2x + 8 = 0. Delta? Delta = 2^2 - 4 * (-1) * 8 = 4 + 32 = 36. Pierwiastek z delty? 6.

x_1 = (-2 - 6) / (-2) = -8 / -2 = 4. x_2 = (-2 + 6) / (-2) = 4 / -2 = -2.

Miejsca zerowe to x = 4 oraz x = -2. Zaznaczamy.

Punkt przecięcia z osią OY? f(0) = -0^2 + 2*0 + 8 = 8. Punkt (0, 8). Zaznaczamy.

Szkicujemy parabolę.

Przedziały monotoniczności? Funkcja rosnąca dla x należącego do przedziału (-nieskończoność, 1). Funkcja malejąca dla x należącego do przedziału (1, +nieskończoność).

Spróbujmy z funkcją liniową! f(x) = 2x - 3. Funkcja liniowa to prosta. Potrzebujemy dwóch punktów, żeby ją narysować.

Dla x = 0, f(0) = 20 - 3 = -3. Mamy punkt (0, -3). Dla x = 1, f(1) = 21 - 3 = -1. Mamy punkt (1, -1).

Zaznaczamy te punkty i rysujemy prostą.

Przedziały monotoniczności? Funkcja jest rosnąca na całej swojej dziedzinie, czyli dla x należącego do przedziału (-nieskończoność, +nieskończoność).

A co z f(x) = -x + 5? Znowu funkcja liniowa.

Dla x = 0, f(0) = -0 + 5 = 5. Punkt (0, 5). Dla x = 5, f(5) = -5 + 5 = 0. Punkt (5, 0).

Zaznaczamy i rysujemy prostą.

Funkcja jest malejąca na całej swojej dziedzinie, czyli dla x należącego do przedziału (-nieskończoność, +nieskończoność).

Funkcja Wielomianowa Trzeciego Stopnia

Przejdźmy do czegoś bardziej skomplikowanego. f(x) = x^3 - 3x.

Żeby naszkicować wykres, musimy znaleźć miejsca zerowe, ekstrema lokalne (maksima i minima) oraz przedziały monotoniczności.

Miejsca zerowe? x^3 - 3x = 0. Wyciągamy x przed nawias: x(x^2 - 3) = 0. Czyli x = 0 lub x^2 - 3 = 0. Zatem x^2 = 3, czyli x = pierwiastek z 3 lub x = -pierwiastek z 3. Mamy trzy miejsca zerowe: x = 0, x = pierwiastek z 3, x = -pierwiastek z 3.

Teraz ekstrema lokalne. Potrzebujemy pochodnej funkcji. f'(x) = 3x^2 - 3.

Żeby znaleźć ekstrema, przyrównujemy pochodną do zera: 3x^2 - 3 = 0. Czyli x^2 = 1, więc x = 1 lub x = -1.

Sprawdzamy, czy to maksima czy minima. Potrzebujemy drugiej pochodnej: f''(x) = 6x.

f''(1) = 6 * 1 = 6 > 0. Czyli w punkcie x = 1 mamy minimum lokalne. Wartość funkcji w tym punkcie: f(1) = 1^3 - 3*1 = -2. Minimum lokalne to (1, -2).

f''(-1) = 6 * (-1) = -6 < 0. Czyli w punkcie x = -1 mamy maksimum lokalne. Wartość funkcji w tym punkcie: f(-1) = (-1)^3 - 3*(-1) = -1 + 3 = 2. Maksimum lokalne to (-1, 2).

Zaznaczamy miejsca zerowe, ekstrema lokalne.

Przedziały monotoniczności?

f'(x) = 3x^2 - 3.

Dla x < -1, f'(x) > 0 (np. dla x = -2, f'(-2) = 34 - 3 = 9 > 0). Funkcja rosnąca. Dla -1 < x < 1, f'(x) < 0 (np. dla x = 0, f'(0) = -3 < 0). Funkcja malejąca. Dla x > 1, f'(x) > 0 (np. dla x = 2, f'(2) = 34 - 3 = 9 > 0). Funkcja rosnąca.

Czyli:

Funkcja rosnąca dla x należącego do przedziału (-nieskończoność, -1). Funkcja malejąca dla x należącego do przedziału (-1, 1). Funkcja rosnąca dla x należącego do przedziału (1, +nieskończoność).

Szkicujemy wykres, uwzględniając wszystkie informacje.

A teraz funkcja wykładnicza! f(x) = 2^x.

Funkcja wykładnicza nigdy nie przyjmuje wartości 0. Zawsze jest dodatnia. Przechodzi przez punkt (0, 1). Dla x dążącego do -nieskończoności, funkcja dąży do 0 (asymptota pozioma). Dla x dążącego do +nieskończoności, funkcja dąży do +nieskończoności.

Szkicujemy wykres. Funkcja rosnąca na całej swojej dziedzinie, czyli dla x należącego do przedziału (-nieskończoność, +nieskończoność).

Funkcja Logarytmiczna

A co z f(x) = log_2(x)?

Funkcja logarytmiczna jest odwrotna do funkcji wykładniczej. Dziedzina to x > 0. Przechodzi przez punkt (1, 0). Dla x dążącego do 0 z prawej strony, funkcja dąży do -nieskończoności (asymptota pionowa). Dla x dążącego do +nieskończoności, funkcja dąży do +nieskończoności.

Szkicujemy wykres. Funkcja rosnąca na całej swojej dziedzinie, czyli dla x należącego do przedziału (0, +nieskończoność).

Spróbujmy z funkcją homograficzną: f(x) = (x+1)/(x-2).

Asymptota pionowa: x = 2 (bo mianownik nie może być równy 0). Asymptota pozioma: y = 1 (bo współczynnik przy x w liczniku i mianowniku to 1).

Miejsce zerowe: x + 1 = 0, czyli x = -1.

Punkt przecięcia z osią OY: f(0) = (0+1)/(0-2) = -1/2.

Zaznaczamy asymptoty, miejsce zerowe i punkt przecięcia z osią OY.

Szkicujemy wykres. Funkcja malejąca w każdym przedziale swojej dziedziny, czyli w przedziale (-nieskończoność, 2) oraz w przedziale (2, +nieskończoność).

To tylko kilka przykładów. Pamiętajmy, że kluczem do sukcesu jest praktyka! Im więcej wykresów naszkicujemy, tym lepiej zrozumiemy zachowanie różnych funkcji. Powodzenia!