Narysuj Dowolny Prostokat O Przekatnych Lezacych Na Prostych

Zaczynamy!

Weźmy dwie proste. Niech to będą proste k i l. Przecinają się, oczywiście. Punkt przecięcia oznaczymy jako S. Ten punkt będzie środkiem naszego przyszłego prostokąta. Teraz wybierzmy dowolny punkt A na prostej k, ale różny od S. Punkt A będzie jednym z wierzchołków prostokąta.

Znajdźmy punkt symetryczny do A względem punktu S. Oznaczmy go jako C. Punkt C leży na prostej k. Mamy dwa wierzchołki i wiemy, że prosta k jest jedną z przekątnych prostokąta.

Teraz czas na drugą przekątną. Musimy znaleźć dwa punkty na prostej l, które będą wierzchołkami prostokąta. Oznaczmy te punkty jako B i D. Wiemy, że punkt S jest środkiem odcinka BD.

Jak znaleźć te punkty? Wystarczy wybrać dowolny punkt B na prostej l, różny od S. Następnie znaleźć punkt symetryczny do B względem S. Oznaczmy go jako D. Punkt D również leży na prostej l.

Mamy cztery punkty: A, B, C, i D. Połączmy je odcinkami. Powstał czworokąt. Czy jest to prostokąt? Sprawdźmy.

Odcinki AC i BD są przekątnymi tego czworokąta i przecinają się w punkcie S. Punkt S jest środkiem obu tych odcinków. Zatem czworokąt ABCD jest równoległobokiem.

Aby równoległobok był prostokątem, jego przekątne muszą być równej długości. To jeszcze nie jest zagwarantowane przy losowym wyborze punktu B. Ale to nic! Mamy pełną swobodę wyboru położenia punktu B na prostej l.

Musimy znaleźć takie położenie punktu B, aby długość odcinka BD była równa długości odcinka AC. Odcinek AC już znamy, bo wybraliśmy punkt A. Zatem szukamy punktu B na prostej l takiego, że |BD| = |AC|.

Konstrukcja jest następująca: wyznaczamy długość odcinka AC. Następnie kreślimy okrąg o środku w punkcie S i promieniu równym połowie długości odcinka AC. (Dlaczego połowie? Bo interesuje nas odległość od środka S do wierzchołka B lub D, a S jest środkiem odcinka BD.)

Okrąg przetnie prostą l w dwóch punktach (chyba że prosta l jest styczna do okręgu w punkcie S, ale w tym przypadku dostaniemy kwadrat – szczególny przypadek prostokąta). Każdy z tych punktów może być naszym punktem B. Wybrany punkt B wyznacza punkt D (symetryczny do B względem S).

Połączmy punkty A, B, C i D. Otrzymaliśmy czworokąt. Przekątne AC i BD mają równą długość i przecinają się w połowie. Zatem ten czworokąt jest prostokątem.

Kąty Proste i Inne Rozważania

Sprawdźmy jeszcze kąty. Wiemy, że ABCD jest równoległobokiem z równymi przekątnymi. Oznacza to, że jest to prostokąt. Alternatywnie, możemy pokazać, że ma kąt prosty.

Rozważmy trójkąty ASB i CSD. Mamy: |AS| = |CS| (bo S jest środkiem AC), |BS| = |DS| (bo S jest środkiem BD) oraz kąty ASB i CSD są równe (kąty wierzchołkowe). Zatem trójkąty ASB i CSD są przystające (cecha bok-kąt-bok). Stąd |AB| = |CD|.

Podobnie, trójkąty ASD i CSB są przystające (cecha bok-kąt-bok). Stąd |AD| = |CB|. Zatem równoległobok ABCD ma równe przekątne, a co za tym idzie – jest prostokątem.

Podsumowanie

Wybraliśmy dwie przecinające się proste k i l. Wybraliśmy punkt A na prostej k (różny od punktu przecięcia prostych). Wyznaczyliśmy punkt C symetryczny do A względem punktu przecięcia prostych. Następnie wyznaczyliśmy punkty B i D na prostej l tak, aby odległość od punktu przecięcia do każdego z nich była równa połowie odległości między punktami A i C. Połączyliśmy te punkty i uzyskaliśmy prostokąt.