Napisz Wzór Funkcji Kwadratowej W Postaci Ogólnej Wiedząc że

Mając dane pewne informacje o funkcji kwadratowej, możemy ją zapisać w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej wygląda następująco:

f(x) = ax² + bx + c

gdzie a, b i c są współczynnikami, przy czym a ≠ 0. Zadanie sprowadza się do wyznaczenia wartości tych współczynników na podstawie podanych danych. Rozważmy różne przypadki i sposoby dojścia do postaci ogólnej.

Jeżeli znamy trzy punkty należące do wykresu funkcji kwadratowej, na przykład (x₁, y₁), (x₂, y₂) i (x₃, y₃), możemy utworzyć układ trzech równań z trzema niewiadomymi (a, b, c):

y₁ = ax₁² + bx₁ + c y₂ = ax₂² + bx₂ + c y₃ = ax₃² + bx₃ + c

Rozwiązując ten układ równań, otrzymamy wartości a, b i c, które następnie podstawiamy do postaci ogólnej.

Przykład: Załóżmy, że funkcja kwadratowa przechodzi przez punkty (1, 2), (2, 5) i (3, 10). Wówczas układ równań wygląda następująco:

2 = a(1)² + b(1) + c 5 = a(2)² + b(2) + c 10 = a(3)² + b(3) + c

Czyli:

2 = a + b + c 5 = 4a + 2b + c 10 = 9a + 3b + c

Odejmując pierwsze równanie od drugiego i drugie od trzeciego, otrzymujemy:

3 = 3a + b 5 = 5a + b

Odejmując te równania od siebie, uzyskujemy:

2 = 2a

Stąd a = 1. Podstawiając a = 1 do równania 3 = 3a + b, otrzymujemy:

3 = 3(1) + b b = 0

Podstawiając a = 1 i b = 0 do równania 2 = a + b + c, otrzymujemy:

2 = 1 + 0 + c c = 1

Zatem funkcja kwadratowa w postaci ogólnej to:

f(x) = x² + 1

Jeżeli znamy wierzchołek paraboli (p, q) oraz jeden dodatkowy punkt (x₀, y₀), możemy skorzystać z postaci kanonicznej funkcji kwadratowej:

f(x) = a(x - p)² + q

Następnie podstawiamy współrzędne punktu (x₀, y₀) do równania, aby wyznaczyć współczynnik a:

y₀ = a(x₀ - p)² + q

Po wyznaczeniu a, wracamy do postaci kanonicznej i przekształcamy ją do postaci ogólnej poprzez rozwinięcie wyrażenia (x - p)² i uproszczenie.

Przykład: Załóżmy, że wierzchołek paraboli to (2, -1) a dodatkowy punkt to (3, 0). Wówczas postać kanoniczna to:

f(x) = a(x - 2)² - 1

Podstawiamy punkt (3, 0):

0 = a(3 - 2)² - 1 0 = a(1)² - 1 a = 1

Zatem funkcja w postaci kanonicznej to:

f(x) = (x - 2)² - 1

Rozwijamy i upraszczamy:

f(x) = x² - 4x + 4 - 1 f(x) = x² - 4x + 3

Zatem funkcja kwadratowa w postaci ogólnej to:

f(x) = x² - 4x + 3

Znajomość miejsc zerowych

Jeżeli znamy dwa miejsca zerowe funkcji kwadratowej, x₁ i x₂, oraz jeden dodatkowy punkt (x₀, y₀), możemy skorzystać z postaci iloczynowej funkcji kwadratowej:

f(x) = a(x - x₁)(x - x₂)

Następnie podstawiamy współrzędne punktu (x₀, y₀) do równania, aby wyznaczyć współczynnik a:

y₀ = a(x₀ - x₁)(x₀ - x₂)

Po wyznaczeniu a, wracamy do postaci iloczynowej i przekształcamy ją do postaci ogólnej poprzez rozwinięcie wyrażenia (x - x₁)(x - x₂) i uproszczenie.

Przykład: Załóżmy, że miejsca zerowe to 1 i 3, a dodatkowy punkt to (2, -1). Wówczas postać iloczynowa to:

f(x) = a(x - 1)(x - 3)

Podstawiamy punkt (2, -1):

-1 = a(2 - 1)(2 - 3) -1 = a(1)(-1) a = 1

Zatem funkcja w postaci iloczynowej to:

f(x) = (x - 1)(x - 3)

Rozwijamy i upraszczamy:

f(x) = x² - 3x - x + 3 f(x) = x² - 4x + 3

Zatem funkcja kwadratowa w postaci ogólnej to:

f(x) = x² - 4x + 3

Jeżeli znamy postać kanoniczną f(x) = a(x-p)^2 + q , możemy przekształcić ją do postaci ogólnej. Rozwijamy kwadrat dwumianu:

f(x) = a(x^2 - 2px + p^2) + q f(x) = ax^2 - 2apx + ap^2 + q

Teraz możemy łatwo odczytać współczynniki:

b = -2ap c = ap^2 + q

Zatem postać ogólna to: f(x) = ax^2 - 2apx + ap^2 + q

Przykład: f(x) = 2(x-1)^2 + 3

f(x) = 2(x^2 - 2x + 1) + 3 f(x) = 2x^2 - 4x + 2 + 3 f(x) = 2x^2 - 4x + 5

Współczynniki: a=2, b=-4, c=5

Inne możliwości i triki

Czasami, zamiast konkretnych punktów, możemy otrzymać informacje o symetrii funkcji. Na przykład, wiemy że osią symetrii jest prosta x = k. Wtedy wierzchołek paraboli ma współrzędną x równą k. Jeżeli dodatkowo znamy wartość funkcji w punkcie k (czyli q), to mamy wierzchołek (k,q). Potrzebujemy jeszcze jednego punktu, aby wyznaczyć współczynnik 'a', a następnie przekształcić postać kanoniczną do postaci ogólnej.

Jeżeli znamy dwa punkty symetryczne względem osi symetrii paraboli, to ich średnia arytmetyczna da nam współrzędną x wierzchołka.

Warto również pamiętać o związku pomiędzy współczynnikami a, b, c a właściwościami funkcji. Współczynnik 'a' decyduje o kierunku otwarcia ramion paraboli (a > 0 - ramiona w górę, a < 0 - ramiona w dół) oraz o jej "szerokości" (im większa wartość bezwzględna 'a', tym węższa parabola). Współczynnik 'c' określa punkt przecięcia wykresu z osią Y (czyli wartość funkcji dla x = 0). Współczynnik 'b' wpływa na położenie wierzchołka paraboli.

Podsumowując, znając różne informacje o funkcji kwadratowej, możemy wykorzystać odpowiednie postacie (ogólną, kanoniczną, iloczynową) oraz przekształcenia algebraiczne, aby wyznaczyć współczynniki a, b i c, a tym samym zapisać funkcję kwadratową w postaci ogólnej f(x) = ax² + bx + c. Kluczowe jest zrozumienie zależności między danymi a poszczególnymi postaciami funkcji i umiejętne rozwiązywanie układów równań.