Napisz Pary Liczb Których Suma Jest Równa Ich Iloczynowi

Szukając niezwykłych relacji w świecie liczb, często natrafiamy na zaskakujące i eleganckie zależności. Jedną z takich ciekawostek jest poszukiwanie par liczb, których suma jest identyczna z ich iloczynem. Na pierwszy rzut oka wydaje się to zadanie trudne, wręcz niemożliwe. Niemniej jednak, zagłębiając się w matematyczne rozważania, odkryjemy, że takie pary istnieją, a proces ich znajdowania jest fascynującą podróżą po algebraicznych równaniach. Zaczynamy!

Niech x i y oznaczają liczby, których szukamy. Zgodnie z naszym założeniem, muszą one spełniać następujące równanie:

x + y = x * y

Przekształcimy to równanie, dążąc do wyizolowania jednej z niewiadomych. Odejmijmy x od obu stron:

y = x * y - x

Teraz wyciągnijmy x przed nawias po prawej stronie:

y = x * (y - 1)

Jeśli y ≠ 1, możemy podzielić obie strony przez (y - 1):

x = y / (y - 1)

Otrzymaliśmy wyrażenie, które pozwala nam obliczyć wartość x w zależności od wartości y. Teraz możemy zacząć eksperymentować z różnymi wartościami y i sprawdzać, czy uzyskane wartości x są sensowne i tworzą pary liczb, spełniające nasze początkowe równanie.

Zacznijmy od prostych liczb całkowitych.

Jeśli y = 0, to x = 0 / (0 - 1) = 0. Zatem para (0, 0) spełnia nasze równanie, ponieważ 0 + 0 = 0 * 0.

Jeśli y = 2, to x = 2 / (2 - 1) = 2. Zatem para (2, 2) również spełnia nasze równanie, ponieważ 2 + 2 = 2 * 2.

Co się stanie, jeśli spróbujemy y = 3? Wtedy x = 3 / (3 - 1) = 3 / 2 = 1.5. Sprawdźmy: 1.5 + 3 = 4.5 oraz 1.5 * 3 = 4.5. Para (1.5, 3) również spełnia warunki zadania. To pokazuje, że nie musimy ograniczać się tylko do liczb całkowitych.

A co z liczbami ujemnymi?

Jeśli y = -1, to x = -1 / (-1 - 1) = -1 / -2 = 0.5. Sprawdźmy: 0.5 + (-1) = -0.5 oraz 0.5 * (-1) = -0.5. Zatem para (0.5, -1) również działa!

Możemy kontynuować ten proces, podstawiając różne wartości y i obliczając odpowiadające im wartości x. Warto zauważyć, że wzór x = y / (y - 1) generuje wartość x dla każdej wartości y różnej od 1. Gdy y = 1, dzielenie przez (y - 1) staje się niemożliwe, co wskazuje na potencjalną osobliwość.

Sprawdźmy jeszcze kilka przykładów. Jeśli y = 4, x = 4/3. Sprawdzamy: 4/3 + 4 = 16/3 oraz 4/3 * 4 = 16/3. Działa!

Jeśli y = -2, x = -2/-3 = 2/3. Sprawdzamy: 2/3 - 2 = -4/3 oraz 2/3 * -2 = -4/3. Również działa!

To prowadzi do wniosku, że możemy generować nieskończenie wiele par liczb, których suma jest równa ich iloczynowi, po prostu podstawiając różne wartości za y we wzorze x = y / (y - 1).

Graficzna Interpretacja

Możemy spojrzeć na to zagadnienie również z perspektywy graficznej. Równanie x = y / (y - 1) opisuje hiperbolę. Każdy punkt na tej hiperboli reprezentuje parę liczb (x, y), która spełnia warunek x + y = x * y. Wykres ten wizualnie potwierdza, że istnieje nieskończenie wiele takich par. Analizując wykres, możemy zauważyć, że hiperbola ma asymptotę poziomą w y = 1 (co odpowiada niemożliwości obliczenia x dla y = 1) oraz asymptotę pionową w x = 1.

Alternatywne podejście

Spróbujmy innego podejścia, aby upewnić się, że nasze rozumowanie jest poprawne i że nie pominęliśmy żadnych istotnych szczegółów. Wróćmy do początkowego równania:

x + y = x * y

Przenieśmy wszystkie wyrazy na jedną stronę:

x * y - x - y = 0

Teraz dodajmy 1 do obu stron:

x * y - x - y + 1 = 1

Zauważmy, że po lewej stronie możemy wyłączyć wspólne czynniki:

x * (y - 1) - (y - 1) = 1

A teraz wyciągnijmy (y - 1) przed nawias:

(x - 1) * (y - 1) = 1

Teraz mamy postać iloczynową. Aby iloczyn dwóch liczb był równy 1, obie liczby muszą być równe 1 lub obie muszą być równe -1.

Przypadek 1: x - 1 = 1 oraz y - 1 = 1. Wtedy x = 2 i y = 2. Otrzymujemy parę (2, 2), którą już znaleźliśmy.

Przypadek 2: x - 1 = -1 oraz y - 1 = -1. Wtedy x = 0 i y = 0. Otrzymujemy parę (0, 0), którą również już zidentyfikowaliśmy.

To wydaje się sugerować, że jedynymi rozwiązaniami są (0, 0) i (2, 2). Jednakże, zapomnieliśmy o pewnej kluczowej rzeczy! Równanie (x - 1) * (y - 1) = 1 dopuszcza również rozwiązania, w których (x - 1) i (y - 1) są liczbami odwrotnymi, których iloczyn wynosi 1. To znaczy, że:

x - 1 = a i y - 1 = 1/a gdzie 'a' jest dowolną liczbą różną od zera.

Wtedy x = a + 1 i y = (1/a) + 1.

Sprawdźmy, czy to działa:

x + y = (a + 1) + ((1/a) + 1) = a + (1/a) + 2 x * y = (a + 1) * ((1/a) + 1) = 1 + a + (1/a) + 1 = a + (1/a) + 2

Rzeczywiście, x + y = x * y.

Zatem mamy ogólne rozwiązanie: x = a + 1, y = (1/a) + 1, gdzie a ≠ 0. Podstawiając różne wartości za 'a', możemy generować nieskończenie wiele par liczb, które spełniają warunek x + y = x * y.

Przykładowo:

Jeśli a = 1, to x = 2 i y = 2 (znane rozwiązanie). Jeśli a = 2, to x = 3 i y = 1.5 (znane rozwiązanie). Jeśli a = -1, to x = 0 i y = 0 (znane rozwiązanie). Jeśli a = 0.5, to x = 1.5 i y = 3 (znane rozwiązanie).

To podejście potwierdza nasze wcześniejsze wnioski i dostarcza nam uniwersalny sposób generowania wszystkich par liczb, których suma równa się ich iloczynowi.

Podsumowując, znalezienie par liczb, których suma równa się ich iloczynowi, okazało się fascynującą podróżą po algebraicznych manipulacjach i interpretacjach graficznych. Odkryliśmy, że istnieje nieskończenie wiele takich par, a kluczem do ich znalezienia jest odpowiednie przekształcenie równania i zastosowanie sprytnych podstawień.