Na Rysunku Obok Przedstawiono Wykres Proporcjonalności Odwrotnej

Okay, oto artykuł na temat wykresów proporcjonalności odwrotnej, napisany zgodnie z Twoimi instrukcjami:

Zacznijmy od tego, czym w ogóle jest proporcjonalność odwrotna. Wyobraź sobie, że masz pewną ilość cukierków do podziału. Im więcej osób jest, tym mniej cukierków przypada na jedną osobę, prawda? To jest właśnie esencja proporcjonalności odwrotnej. Jedna rzecz rośnie, a druga maleje, i to w taki specyficzny sposób, że ich iloczyn jest zawsze stały.

Na przykład, jeśli masz 12 cukierków i jedną osobę, to ta osoba dostanie wszystkie 12. Jeśli masz 2 osoby, każda dostanie 6 cukierków (12 / 2 = 6). Jeśli masz 3 osoby, każda dostanie 4 cukierki (12 / 3 = 4). Zauważ, że liczba osób pomnożona przez liczbę cukierków na osobę zawsze daje 12. To ta stała wartość – w naszym przykładzie 12 – jest kluczowa.

W matematyce zapisujemy to tak: y = k / x, gdzie:

• y to jedna zmienna (np. liczba cukierków na osobę)
• x to druga zmienna (np. liczba osób)
• k to stała proporcjonalności (np. liczba cukierków)

Czyli, jeśli widzisz wzór y = k / x, to od razu wiesz, że masz do czynienia z proporcjonalnością odwrotną.

Jak to wygląda na wykresie? Właśnie to jest tematem.

Wykres Proporcjonalności Odwrotnej

Wyobraź sobie teraz, że chcesz narysować wykres, który pokaże, jak zmienia się 'y' w zależności od 'x'. Jak będzie wyglądał taki wykres dla proporcjonalności odwrotnej?

Otóż, nie będzie to prosta linia, jak w przypadku proporcjonalności prostej. Zamiast tego, otrzymasz krzywą, a konkretnie hiperbolę. Hiperbola to taka charakterystyczna krzywa, która składa się z dwóch części, zwanych gałęziami.

Jak narysować taką hiperbolę?

1. Wybierz kilka wartości dla x. Na przykład: 1, 2, 3, 4, 6, 12 (w nawiązaniu do naszego przykładu z cukierkami, ale w matematyce 'x' może przyjmować różne wartości). Ważne, żeby wybierać zarówno wartości dodatnie, jak i, dla pełnego obrazu, ujemne (jeśli to ma sens w kontekście zadania).

2. Oblicz odpowiadające im wartości y. Pamiętaj o wzorze y = k / x. Załóżmy, że k = 12 (tak jak wcześniej). Wtedy:

   • Dla x = 1, y = 12 / 1 = 12
   • Dla x = 2, y = 12 / 2 = 6
   • Dla x = 3, y = 12 / 3 = 4
   • Dla x = 4, y = 12 / 4 = 3
   • Dla x = 6, y = 12 / 6 = 2
   • Dla x = 12, y = 12 / 12 = 1

3. Zaznacz punkty na wykresie. Każda para (x, y) to jeden punkt na wykresie. Masz więc punkty: (1, 12), (2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2), (12, 1).

4. Połącz punkty gładką linią. Pamiętaj, że to nie ma być linia prosta! Ma to być krzywa, która zbliża się do osi x i osi y, ale nigdy ich nie dotyka.

I to jest jedna gałąź hiperboli. Druga gałąź będzie symetryczna do niej względem początku układu współrzędnych. To oznacza, że jeśli (x, y) leży na jednej gałęzi, to (-x, -y) leży na drugiej. Na przykład, jeśli (1, 12) leży na jednej gałęzi, to (-1, -12) leży na drugiej.

Co widać na wykresie?

• Kształt: Wykres ma kształt dwóch zakrzywionych linii, które zbliżają się do osi x i osi y, ale nigdy ich nie przecinają. Te osie nazywamy asymptotami.
• Położenie: Gałęzie hiperboli mogą leżeć w różnych ćwiartkach układu współrzędnych, w zależności od znaku stałej k. Jeśli k jest dodatnie, to gałęzie leżą w pierwszej i trzeciej ćwiartce. Jeśli k jest ujemne, to gałęzie leżą w drugiej i czwartej ćwiartce.
• Zależność: Im większe x, tym mniejsze y i odwrotnie. To jest właśnie odwrotna proporcjonalność.

Przykłady i Zastosowania

Proporcjonalność odwrotna pojawia się w wielu sytuacjach. Oto kilka przykładów:

• Prędkość i czas: Jeśli masz do pokonania pewną odległość, to im większa prędkość, z jaką się poruszasz, tym krótszy czas potrzebujesz, żeby dotrzeć do celu. Odległość = prędkość * czas, czyli czas = odległość / prędkość. Tutaj odległość jest stałą (k), a prędkość i czas są zmiennymi, które są odwrotnie proporcjonalne.

• Opór elektryczny i prąd: Zgodnie z prawem Ohma, napięcie (U) jest równe iloczynowi prądu (I) i oporu (R): U = I * R. Jeśli napięcie jest stałe, to im większy opór, tym mniejszy prąd i odwrotnie. Napięcie jest stałą (k), a prąd i opór są zmiennymi, które są odwrotnie proporcjonalne.

• Ciśnienie i objętość gazu: Zgodnie z prawem Boyle'a-Mariotte'a, dla stałej temperatury, iloczyn ciśnienia i objętości gazu jest stały: p * V = k. Im większe ciśnienie, tym mniejsza objętość i odwrotnie. Tutaj "k" to stała, a ciśnienie i objętość są zmiennymi odwrotnie proporcjonalnymi.

Podsumowanie

Wykres proporcjonalności odwrotnej przedstawia hiperbolę. Rozpoznasz go po charakterystycznym kształcie dwóch zakrzywionych linii, które zbliżają się do osi układu współrzędnych, ale ich nie przecinają. Pamiętaj o wzorze y = k / x i o tym, że im większa jedna zmienna, tym mniejsza druga. Zrozumienie tego, jak wygląda wykres i jak interpretować jego cechy, pomoże Ci lepiej analizować i rozwiązywać zadania związane z proporcjonalnością odwrotną.