Na Kazdym Z Ponizszych Rysunkow W Trojkacie O Przyprostokatnych

Rozważmy zadanie, w którym mamy trójkąt prostokątny. Na rysunkach widzimy różne sytuacje dotyczące tego trójkąta. Musimy przyjrzeć się, co jest zaznaczone na każdym rysunku i co chcemy ustalić. Generalnie, zadania z trójkątami prostokątnymi często polegają na znalezieniu długości boków, miar kątów, pola powierzchni lub obwodu. Często wykorzystywane są twierdzenie Pitagorasa, funkcje trygonometryczne (sinus, cosinus, tangens) oraz własności trójkątów podobnych.

Najpierw spójrzmy na podstawowe definicje. W trójkącie prostokątnym mamy dwa boki, które tworzą kąt prosty – nazywamy je przyprostokątnymi. Bok leżący naprzeciw kąta prostego to przeciwprostokątna. Twierdzenie Pitagorasa mówi, że w trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. Matematycznie zapisujemy to jako: a² + b² = c², gdzie a i b to długości przyprostokątnych, a c to długość przeciwprostokątnej.

Funkcje trygonometryczne pozwalają nam powiązać kąty w trójkącie prostokątnym z proporcjami długości jego boków. Mamy sinus (sin), cosinus (cos) i tangens (tan). Dla kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym:

• sin(α) = (długość boku przeciwległego do kąta α) / (długość przeciwprostokątnej)
• cos(α) = (długość boku przyległego do kąta α) / (długość przeciwprostokątnej)
• tan(α) = (długość boku przeciwległego do kąta α) / (długość boku przyległego do kąta α)

Jeśli na rysunku mamy podane długości dwóch boków trójkąta prostokątnego, możemy obliczyć długość trzeciego boku, używając twierdzenia Pitagorasa. Na przykład, jeśli a = 3 i b = 4, to c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, więc c = √25 = 5.

Jeśli mamy podaną długość jednego boku i miarę jednego kąta ostrego, możemy użyć funkcji trygonometrycznych do obliczenia długości pozostałych boków. Na przykład, jeśli znamy długość przyprostokątnej a i kąt α naprzeciwko niej, to możemy obliczyć długość przeciwprostokątnej c jako c = a / sin(α). Możemy również obliczyć długość drugiej przyprostokątnej b jako b = a / tan(α).

Jeśli na rysunku widzimy, że dwa trójkąty są podobne, to znaczy, że mają takie same kąty. W trójkątach podobnych stosunki długości odpowiadających sobie boków są równe. To oznacza, że jeśli znamy długości boków jednego trójkąta i długość jednego boku drugiego trójkąta (który odpowiada jednemu z boków pierwszego trójkąta), możemy obliczyć długości pozostałych boków drugiego trójkąta. Na przykład, jeśli trójkąt ABC jest podobny do trójkąta DEF, a AB odpowiada DE, BC odpowiada EF, a CA odpowiada FD, to zachodzą równości: AB/DE = BC/EF = CA/FD.

Przykładowe rozwiązania

Załóżmy, że na pierwszym rysunku mamy trójkąt prostokątny, w którym jedna z przyprostokątnych ma długość 6, a kąt ostry przyległy do tej przyprostokątnej ma miarę 30 stopni. Chcemy znaleźć długość przeciwprostokątnej. Użyjemy funkcji cosinus: cos(30°) = (długość przyprostokątnej przyległej) / (długość przeciwprostokątnej). Czyli cos(30°) = 6 / c, gdzie c to długość przeciwprostokątnej. Wiemy, że cos(30°) = √3 / 2. Zatem √3 / 2 = 6 / c. Mnożąc obie strony przez c i przez 2 / √3, otrzymujemy c = 6 * (2 / √3) = 12 / √3. Usuwając niewymierność z mianownika, mnożymy licznik i mianownik przez √3: c = (12√3) / 3 = 4√3.

Na drugim rysunku mamy trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątna ma długość 10, a jedna z przyprostokątnych ma długość 8. Chcemy znaleźć długość drugiej przyprostokątnej. Użyjemy twierdzenia Pitagorasa: a² + b² = c². Wiemy, że c = 10 i a = 8. Zatem 8² + b² = 10², czyli 64 + b² = 100. Odejmując 64 od obu stron, otrzymujemy b² = 36. Zatem b = √36 = 6.

Na trzecim rysunku widzimy dwa trójkąty prostokątne podobne. Mniejszy trójkąt ma przyprostokątne o długościach 3 i 4, a przeciwprostokątną o długości 5 (bo 3² + 4² = 5²). W większym trójkącie jedna z przyprostokątnych (odpowiadająca przyprostokątnej o długości 3 w mniejszym trójkącie) ma długość 9. Chcemy znaleźć długość drugiej przyprostokątnej większego trójkąta i jego przeciwprostokątnej. Ponieważ trójkąty są podobne, stosunek długości odpowiadających sobie boków jest stały. Czyli 3/9 = 4/x = 5/y, gdzie x to długość drugiej przyprostokątnej większego trójkąta, a y to długość jego przeciwprostokątnej. Z równania 3/9 = 4/x wynika, że x = (4 * 9) / 3 = 36 / 3 = 12. Z równania 3/9 = 5/y wynika, że y = (5 * 9) / 3 = 45 / 3 = 15.

Kolejne kroki

Kiedy analizujemy zadanie z trójkątem prostokątnym, zawsze powinniśmy zacząć od zidentyfikowania, co jest dane i co chcemy obliczyć. Następnie zastanawiamy się, które twierdzenia i wzory mogą nam pomóc w rozwiązaniu zadania. Najczęściej będziemy korzystać z twierdzenia Pitagorasa, funkcji trygonometrycznych i własności trójkątów podobnych. Ważne jest, aby dokładnie przyjrzeć się rysunkowi i zaznaczyć na nim wszystkie znane wartości. Możemy również dorysować dodatkowe linie, jeśli to pomoże nam w rozwiązaniu zadania (np. wysokość trójkąta). Pamiętajmy również o jednostkach miar i sprawdźmy, czy wszystkie dane są wyrażone w tych samych jednostkach.

Często w zadaniach z trójkątami prostokątnymi pojawiają się kąty charakterystyczne, takie jak 30°, 45° i 60°. Warto zapamiętać wartości funkcji trygonometrycznych dla tych kątów, ponieważ często upraszczają one obliczenia. Na przykład, sin(30°) = 1/2, cos(30°) = √3 / 2, tan(30°) = √3 / 3, sin(45°) = √2 / 2, cos(45°) = √2 / 2, tan(45°) = 1, sin(60°) = √3 / 2, cos(60°) = 1/2, tan(60°) = √3.

Podsumowując, rozwiązywanie zadań z trójkątami prostokątnymi wymaga znajomości podstawowych definicji, twierdzenia Pitagorasa, funkcji trygonometrycznych i własności trójkątów podobnych. Ważne jest, aby dokładnie analizować dane i korzystać z odpowiednich wzorów i twierdzeń. Pamiętajmy również o jednostkach miar i sprawdzajmy, czy nasze obliczenia są poprawne. Im więcej ćwiczymy, tym łatwiej będziemy radzić sobie z tego typu zadaniami. Zawsze warto rysować sobie schematyczny rysunek, żeby lepiej zwizualizować problem.