Na Ile Sposobów Można Wybrać Dwóch Graczy Spośród 10 Zawodników

Wyobraź sobie drużynę sportową. Mamy dziesięciu wspaniałych zawodników, gotowych do walki o zwycięstwo. Trener staje przed wyzwaniem – musi wybrać dwóch z nich, aby pełnili szczególną rolę w nadchodzącym meczu. Jak wiele ma możliwości? Na ile sposobów może dokonać tego wyboru?

To klasyczny problem kombinatoryczny, z którym spotykamy się na co dzień, nie tylko w sporcie. Może dotyczyć wyboru dwóch książek z dziesięciu do przeczytania na wakacjach, wyboru dwóch smaków lodów z dziesięciu dostępnych w ofercie, albo wyboru dwóch przedstawicieli klasy spośród dziesięciu uczniów. Zasadniczo, pytamy: ile podzbiorów dwuelementowych można utworzyć ze zbioru dziesięcioelementowego?

Rozważmy na początek, że kolejność wyboru ma znaczenie. Mamy dziesięciu zawodników: A, B, C, D, E, F, G, H, I, J. Jeśli najpierw wybierzemy zawodnika A, a potem zawodnika B, to jest to inny wybór niż najpierw wybór zawodnika B, a potem zawodnika A. W takim przypadku, dla pierwszego wyboru mamy dziesięć możliwości. Po dokonaniu pierwszego wyboru, do drugiego wyboru pozostaje nam dziewięciu zawodników. Zatem, liczba wszystkich możliwych wyborów, gdzie kolejność ma znaczenie, wynosi 10 * 9 = 90.

Jednak, w naszym problemie kolejność nie ma znaczenia. Wybór zawodników A i B jest dokładnie tym samym wyborem, co wybór zawodników B i A. Musimy więc uwzględnić, że każda para została policzona dwukrotnie (raz jako AB, raz jako BA). Aby skorygować ten błąd, dzielimy liczbę wszystkich możliwych wyborów z uwzględnieniem kolejności przez liczbę możliwych uporządkowań dwóch elementów, czyli przez 2! (2 silnia), co wynosi 2.

Stąd, liczba sposobów na wybranie dwóch graczy spośród dziesięciu, gdy kolejność nie ma znaczenia, wynosi 90 / 2 = 45.

Możemy to przedstawić w bardziej ogólny sposób. Jeśli mamy 'n' elementów i chcemy wybrać 'k' z nich, gdzie kolejność nie ma znaczenia, to liczba sposobów na dokonanie takiego wyboru nazywana jest kombinacją i oznaczana symbolem "n nad k" (n choose k), zapisanym matematycznie jako C(n, k) lub (n k). Wzór na obliczenie kombinacji to:

C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)

Gdzie "!" oznacza silnię, czyli iloczyn wszystkich liczb naturalnych od 1 do danej liczby. Na przykład, 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120.

W naszym przypadku, n = 10 (liczba zawodników) i k = 2 (liczba graczy do wyboru). Zatem,

C(10, 2) = 10! / (2! * (10-2)!) = 10! / (2! * 8!) = (10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) / ((2 * 1) * (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1))

Możemy uprościć to wyrażenie, skracając 8! z licznika i mianownika:

C(10, 2) = (10 * 9) / (2 * 1) = 90 / 2 = 45.

Otrzymaliśmy ten sam wynik, co poprzednio, czyli 45. Istnieje 45 różnych sposobów na wybranie dwóch graczy spośród dziesięciu, gdy kolejność wyboru nie ma znaczenia.

Zastosowanie kombinacji w praktyce

Kombinacje są niezwykle przydatne w wielu dziedzinach. W statystyce, pomagają obliczyć prawdopodobieństwo wystąpienia określonego zdarzenia. W informatyce, znajdują zastosowanie w algorytmach i strukturach danych. W grach losowych, takich jak lotto, służą do określania szans na wygraną. Rozważmy prosty przykład:

Mamy talię 52 kart. Ile jest możliwych rozdań pięciokartowych? W tym przypadku, n = 52 (liczba kart w talii) i k = 5 (liczba kart w rozdaniu). Kolejność kart w ręce nie ma znaczenia, więc używamy kombinacji:

C(52, 5) = 52! / (5! * (52-5)!) = 52! / (5! * 47!) = (52 * 51 * 50 * 49 * 48) / (5 * 4 * 3 * 2 * 1) = 2 598 960.

Istnieje prawie 2,6 miliona różnych możliwych rozdań pięciokartowych!

Inny przykład: mamy grupę 15 osób i chcemy wybrać z niej 3-osobową komisję. Na ile sposobów możemy to zrobić?

C(15, 3) = 15! / (3! * (15-3)!) = 15! / (3! * 12!) = (15 * 14 * 13) / (3 * 2 * 1) = 455.

Możemy wybrać 3-osobową komisję na 455 różnych sposobów.

Kombinacje a wariacje

Warto zwrócić uwagę na różnicę między kombinacjami a wariacjami. W kombinacjach kolejność wyboru elementów nie ma znaczenia, natomiast w wariacjach kolejność jest istotna. W naszym początkowym przykładzie z drużyną sportową, gdybyśmy wybierali kapitana i wicekapitana, a nie po prostu dwóch graczy do specjalnej roli, to kolejność miałaby znaczenie i użylibyśmy wariacji.

Wariacja bez powtórzeń k-elementowa ze zbioru n-elementowego to liczba wszystkich możliwych uporządkowanych ciągów k różnych elementów wybranych ze zbioru n-elementowego. Liczba wariacji bez powtórzeń dana jest wzorem:

V(n, k) = n! / (n-k)!

W naszym przypadku, gdybyśmy wybierali kapitana i wicekapitana spośród 10 zawodników, mielibyśmy:

V(10, 2) = 10! / (10-2)! = 10! / 8! = 10 * 9 = 90.

Jak widzimy, wynik jest dwukrotnie większy niż w przypadku kombinacji, ponieważ uwzględniamy kolejność.

Podsumowując, problem wyboru dwóch graczy spośród dziesięciu sprowadza się do obliczenia kombinacji. Wykorzystując wzór na kombinacje lub rozumowanie krok po kroku, dochodzimy do wniosku, że istnieje 45 różnych sposobów na dokonanie takiego wyboru. Zrozumienie kombinacji i wariacji jest kluczowe w rozwiązywaniu wielu problemów z zakresu matematyki, statystyki i informatyki. Pamiętajmy, że najważniejsze jest zidentyfikowanie, czy kolejność wyboru ma znaczenie – to decyduje, czy używamy kombinacji, czy wariacji.