Mnożenie I Dzielenie Jednomianów Przez Sumy Algebraiczne

Witajcie uczniowie! Dzisiaj zajmiemy się tematem, który na pierwszy rzut oka może wydawać się skomplikowany, ale w rzeczywistości jest całkiem prosty, a mianowicie: mnożeniem i dzieleniem jednomianów przez sumy algebraiczne. Pokażę Wam, jak to robić krok po kroku, na konkretnych przykładach.

Zacznijmy od mnożenia. Wyobraźcie sobie, że mamy do czynienia z sytuacją, gdzie chcemy pomnożyć coś pojedynczego (jednomian) przez coś większego, składającego się z kilku części (suma algebraiczna). Mówiąc prościej, jednomian stoi przed nawiasem, a w nawiasie mamy dodawanie lub odejmowanie kilku wyrazów.

Na przykład: 3x(2x + 5).

Jak to rozwiązać? Kluczem jest zasada rozdzielności mnożenia względem dodawania/odejmowania. Oznacza to, że musimy pomnożyć jednomian znajdujący się przed nawiasem przez każdy wyraz znajdujący się w nawiasie oddzielnie.

W naszym przykładzie 3x(2x + 5) robimy to tak:

1. Mnożymy 3x przez 2x: 3x * 2x = 6x². Pamiętajcie, że mnożąc zmienne z potęgami, dodajemy ich wykładniki. W tym przypadku x ma wykładnik 1 (nawet jeśli go nie widzimy), więc x¹ * x¹ = x¹⁺¹ = x².

2. Mnożymy 3x przez 5: 3x * 5 = 15x.

3. Na koniec dodajemy wyniki: 6x² + 15x.

Zatem, 3x(2x + 5) = 6x² + 15x.

Spójrzmy na kolejny przykład z odejmowaniem w nawiasie: 2a(4a - 3b).

1. Mnożymy 2a przez 4a: 2a * 4a = 8a².

2. Mnożymy 2a przez -3b: 2a * (-3b) = -6ab. Ważne jest, aby pamiętać o znaku minus!

3. Dodajemy wyniki (uwzględniając znak): 8a² - 6ab.

Więc, 2a(4a - 3b) = 8a² - 6ab.

Co się stanie, jeśli w nawiasie mamy więcej wyrazów? Zasada jest dokładnie ta sama!

Weźmy przykład: -4y(y² - 2y + 7).

1. Mnożymy -4y przez y²: -4y * y² = -4y³.

2. Mnożymy -4y przez -2y: -4y * (-2y) = 8y². Pamiętajmy, że minus razy minus daje plus!

3. Mnożymy -4y przez 7: -4y * 7 = -28y.

4. Dodajemy wyniki (uwzględniając znaki): -4y³ + 8y² - 28y.

Zatem, -4y(y² - 2y + 7) = -4y³ + 8y² - 28y.

Mam nadzieję, że mnożenie jednomianów przez sumy algebraiczne staje się coraz bardziej jasne. Teraz przejdźmy do dzielenia.

Dzielenie Jednomianów Przez Sumy Algebraiczne

Dzielenie jednomianu przez sumę algebraiczną to nieco inne zagadnienie i występuje rzadziej w prostych zadaniach. Najczęściej spotkacie sytuację, gdzie to suma algebraiczna jest dzielona przez jednomian. Na tym się teraz skupimy.

Załóżmy, że mamy wyrażenie: (6x² + 9x) / 3x.

Podobnie jak przy mnożeniu, korzystamy z pewnej formy zasady rozdzielności. Tym razem dzielimy każdy wyraz sumy algebraicznej przez jednomian.

1. Dzielimy 6x² przez 3x: 6x² / 3x = 2x. Pamiętajcie, że dzieląc zmienne z potęgami, odejmujemy ich wykładniki. x² / x¹ = x²⁻¹ = x¹. Dodatkowo, dzielimy współczynniki liczbowe: 6 / 3 = 2.

2. Dzielimy 9x przez 3x: 9x / 3x = 3. Tutaj x się skraca (x / x = 1), a 9 / 3 = 3.

3. Dodajemy wyniki: 2x + 3.

Zatem, (6x² + 9x) / 3x = 2x + 3.

Spójrzmy na inny przykład: (12a³ - 8a²) / 4a.

1. Dzielimy 12a³ przez 4a: 12a³ / 4a = 3a².

2. Dzielimy -8a² przez 4a: -8a² / 4a = -2a. Nie zapomnijcie o znaku minus!

3. Dodajemy wyniki (uwzględniając znak): 3a² - 2a.

Więc, (12a³ - 8a²) / 4a = 3a² - 2a.

Co się stanie, jeśli w sumie algebraicznej mamy więcej wyrazów? Zasada pozostaje taka sama.

Weźmy przykład: (15y⁴ - 10y³ + 5y²) / 5y.

1. Dzielimy 15y⁴ przez 5y: 15y⁴ / 5y = 3y³.

2. Dzielimy -10y³ przez 5y: -10y³ / 5y = -2y².

3. Dzielimy 5y² przez 5y: 5y² / 5y = y.

4. Dodajemy wyniki (uwzględniając znaki): 3y³ - 2y² + y.

Zatem, (15y⁴ - 10y³ + 5y²) / 5y = 3y³ - 2y² + y.

Czasami, po wykonaniu mnożenia lub dzielenia, możemy jeszcze uprościć wynik, redukując wyrazy podobne. Wyrazy podobne to takie, które mają identyczną zmienną podniesioną do tej samej potęgi. Możemy je do siebie dodawać lub odejmować.

Przykład: 2x(x + 3) + x(x - 1).

1. Mnożymy pierwszy nawias: 2x(x + 3) = 2x² + 6x.

2. Mnożymy drugi nawias: x(x - 1) = x² - x.

3. Dodajemy wyniki: (2x² + 6x) + (x² - x) = 2x² + 6x + x² - x.

4. Redukujemy wyrazy podobne: 2x² + x² = 3x² i 6x - x = 5x.

5. Ostateczny wynik: 3x² + 5x.

Zatem, 2x(x + 3) + x(x - 1) = 3x² + 5x.

Podsumowując, mnożenie jednomianu przez sumę algebraiczną polega na pomnożeniu jednomianu przez każdy wyraz w nawiasie i dodaniu/odjęciu wyników. Dzielenie sumy algebraicznej przez jednomian polega na podzieleniu każdego wyrazu sumy przez jednomian i dodaniu/odjęciu wyników. Pamiętajcie o znakach i o redukcji wyrazów podobnych, jeśli to możliwe.

Mam nadzieję, że te przykłady pomogły Wam zrozumieć, jak mnożyć i dzielić jednomiany przez sumy algebraiczne. Ćwiczcie regularnie, a wkrótce stanie się to dla Was drugą naturą! Powodzenia!