Matematyka Sprawdzian Z Graniastosłupów Liceum

Matematyka Sprawdzian z Graniastosłupów Liceum to test sprawdzający wiedzę ucznia z zakresu brył geometrycznych zwanych graniastosłupami. Skupia się na obliczaniu ich pól powierzchni, objętości, długości krawędzi oraz zrozumieniu ich właściwości.

Czym jest graniastosłup?

Graniastosłup to wielościan, którego dwie ściany (podstawy) są przystającymi wielokątami leżącymi w równoległych płaszczyznach, a pozostałe ściany (ściany boczne) są równoległobokami. Ważne są dwa typy: graniastosłup prosty (ściany boczne są prostokątami) i graniastosłup prawidłowy (jest prosty, a jego podstawy są wielokątami foremnymi).

Obliczanie pola powierzchni

Pole powierzchni graniastosłupa (P_c) obliczamy dodając pole powierzchni dwóch podstaw (P_p) oraz pole powierzchni bocznej (P_b):

P_c = 2 * P_p + P_b

Przykład: Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma krawędź podstawy a = 4cm i wysokość H = 6cm. Pole podstawy (trójkąt równoboczny) to P_p = (a²√3) / 4 = (4²√3) / 4 = 4√3 cm². Pole powierzchni bocznej to P_b = 3 * a * H = 3 * 4cm * 6cm = 72 cm². Zatem pole całkowite to P_c = 2 * 4√3 cm² + 72 cm² = (8√3 + 72) cm².

Obliczanie objętości

Objętość graniastosłupa (V) obliczamy mnożąc pole powierzchni podstawy (P_p) przez wysokość (H):

V = P_p * H

Przykład: Dla tego samego graniastosłupa prawidłowego trójkątnego z poprzedniego przykładu (a = 4cm, H = 6cm) objętość wynosi V = 4√3 cm² * 6cm = 24√3 cm³.

Długość krawędzi i przekątne

Długość krawędzi podstawy zależy od rodzaju wielokąta w podstawie. Przekątne podstawy wyznaczymy, znając wymiary podstawy. Ważną przekątną jest przekątna ściany bocznej (w przypadku graniastosłupa prostego to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego, którego przyprostokątnymi są wysokość graniastosłupa i krawędź podstawy) oraz przekątna całego graniastosłupa.

Przykład: Graniastosłup prosty o podstawie prostokąta o wymiarach 3cm i 4cm oraz wysokości 5cm. Długość przekątnej podstawy to √(3² + 4²) = 5cm. Długość przekątnej ściany bocznej o wymiarach 4cm i 5cm to √(4² + 5²) = √41 cm.

Praktyczne zastosowania

Zrozumienie graniastosłupów jest kluczowe w:

• Architekturze i budownictwie: Obliczanie ilości materiałów potrzebnych do budowy budynków o kształtach graniastosłupów (np. fundamenty, ściany).
• Projektowaniu opakowań: Optymalizacja kształtu pudełek (które często są graniastosłupami) w celu minimalizacji zużycia materiału i maksymalizacji przestrzeni wewnętrznej.