Liczby Wymierne Dodawanie I Odejmowanie

Hej! Witajcie w świecie liczb wymiernych, gdzie dodawanie i odejmowanie staje się fascynującą przygodą! Nie martw się, jeśli na początku brzmi to trochę skomplikowanie. Przejdziemy przez to razem, krok po kroku, używając wizualizacji i prostych przykładów. Pamiętaj, że matematyka to jak układanka – każdy element pasuje na swoje miejsce!

Czym są Liczby Wymierne?

Zanim zaczniemy dodawać i odejmować, ustalmy, czym w ogóle są te liczby wymierne. Najprościej mówiąc, to liczby, które możemy zapisać jako ułamek, czyli stosunek dwóch liczb całkowitych (liczba na górze, zwana licznikiem, i liczba na dole, zwana mianownikiem). Na przykład, 1/2, 3/4, -2/5, a nawet 5 (bo możemy zapisać jako 5/1) to liczby wymierne. Pamiętaj, mianownik nigdy nie może być równy zero! To tak jak dzielenie pizzy – nie możesz podzielić jej na zero kawałków, prawda?

Wizualizacja: Wyobraź sobie tort. Możesz go podzielić na dwie równe części (1/2), na cztery równe części (1/4), na osiem (1/8) i tak dalej. Każda z tych części reprezentuje liczbę wymierną. Nawet cały tort (1/1) jest liczbą wymierną!

Liczby wymierne to nie tylko ułamki. Zaliczają się do nich również liczby całkowite (…, -2, -1, 0, 1, 2, …) i liczby dziesiętne, które mają skończone rozwinięcie dziesiętne (np. 0.25) lub rozwinięcie okresowe (np. 0.333…). Liczby dziesiętne, które mają nieskończone, nieokresowe rozwinięcie dziesiętne (jak np. π - pi) to liczby niewymierne i o nich porozmawiamy kiedy indziej.

Dodawanie Liczb Wymiernych

Dodawanie liczb wymiernych jest proste, jeśli mają one wspólny mianownik. To znaczy, że liczba na dole ułamka jest taka sama. Wtedy po prostu dodajemy liczniki (liczby na górze), a mianownik zostaje bez zmian.

Przykład: Wyobraź sobie, że masz pizzę podzieloną na 8 kawałków. Jesz 3 kawałki (3/8) i potem jeszcze 2 kawałki (2/8). Ile kawałków pizzy zjadłeś łącznie? 3/8 + 2/8 = 5/8. Zjadłeś 5 kawałków.

Wzór: a/c + b/c = (a + b)/c, gdzie 'c' jest wspólnym mianownikiem.

Co zrobić, gdy mianowniki są różne?

Tutaj zaczyna się trochę więcej zabawy! Jeśli mianowniki są różne, musimy najpierw znaleźć wspólny mianownik. Najczęściej szukamy najmniejszej wspólnej wielokrotności (NWW) mianowników.

Przykład: Chcemy dodać 1/2 + 1/3. Jaki jest wspólny mianownik dla 2 i 3? Pomyśl o wielokrotnościach 2 (2, 4, 6, 8…) i 3 (3, 6, 9, 12…). Najmniejsza liczba, która występuje w obu listach to 6. Zatem 6 jest naszym wspólnym mianownikiem.

Teraz musimy rozszerzyć ułamki, żeby miały mianownik równy 6. Żeby to zrobić, mnożymy licznik i mianownik każdego ułamka przez odpowiednią liczbę:

• 1/2 = (1 * 3) / (2 * 3) = 3/6
• 1/3 = (1 * 2) / (3 * 2) = 2/6

Teraz możemy dodać: 3/6 + 2/6 = 5/6.

Wizualizacja: Wyobraź sobie dwa identyczne prostokąty. Jeden podziel na pół, a drugi na trzy części. Żeby łatwo je dodać, musisz podzielić oba prostokąty na tyle samo części - w tym przypadku na 6. Wtedy widzisz, że 1/2 to to samo co 3/6, a 1/3 to to samo co 2/6.

Odejmowanie Liczb Wymiernych

Odejmowanie liczb wymiernych działa bardzo podobnie do dodawania. Jeśli ułamki mają wspólny mianownik, po prostu odejmujemy liczniki, a mianownik zostaje taki sam.

Przykład: Masz 5/8 pizzy i zjadasz 2/8. Ile pizzy Ci zostało? 5/8 - 2/8 = 3/8. Zostało Ci 3/8 pizzy.

Wzór: a/c - b/c = (a - b)/c, gdzie 'c' jest wspólnym mianownikiem.

Co zrobić, gdy mianowniki są różne w odejmowaniu?

Tak samo jak w dodawaniu, musimy najpierw znaleźć wspólny mianownik (NWW). Następnie rozszerzamy ułamki, żeby miały ten sam mianownik, i dopiero wtedy możemy odjąć liczniki.

Przykład: Chcemy obliczyć 1/2 - 1/3. Wspólny mianownik dla 2 i 3 to 6. Rozszerzamy ułamki:

• 1/2 = 3/6
• 1/3 = 2/6

Teraz możemy odjąć: 3/6 - 2/6 = 1/6.

Przykłady z życia wzięte

Liczby wymierne są wszędzie wokół nas! Kiedy gotujesz, korzystasz z przepisów, które często podają składniki w ułamkach (np. 1/2 szklanki mąki). Kiedy mierzysz czas (np. 15 minut to 1/4 godziny). Kiedy dzielisz rachunek w restauracji na równe części.

• Gotowanie: Masz przepis na ciasto, który wymaga 3/4 szklanki cukru. Chcesz zrobić tylko połowę ciasta. Ile cukru potrzebujesz? Potrzebujesz (1/2) * (3/4) = 3/8 szklanki cukru.
• Podział rachunku: Rachunek w restauracji wynosi 80 zł, a jecie w 4 osoby. Każda osoba płaci 80 zł / 4 = 20 zł, czyli 1/4 rachunku.

Pamiętaj, praktyka czyni mistrza! Im więcej będziesz rozwiązywać zadań z dodawania i odejmowania liczb wymiernych, tym łatwiej Ci to przyjdzie. Nie bój się pytać i szukać pomocy, jeśli czegoś nie rozumiesz. Powodzenia!