Liczby Rzeczywiste Nowa Era Liceum Sprawdzian

Liczby rzeczywiste stanowią fundament matematyki i obejmują wszystkie liczby, które można przedstawić na osi liczbowej. Oznacza to, że zawierają zarówno liczby wymierne (dające się zapisać jako iloraz dwóch liczb całkowitych), jak i liczby niewymierne (których nie można zapisać w ten sposób).

Kluczowe aspekty liczb rzeczywistych to: ciągłość (brak "dziur" na osi liczbowej), porządek (możliwość porównywania i określania, która liczba jest większa), zupełność (każdy zbiór ograniczony od góry ma kres górny) oraz fakt, że stanowią ciało, czyli można wykonywać na nich podstawowe działania algebraiczne (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, z wyjątkiem dzielenia przez zero).

Liczby wymierne to np. 2, 0, -5, 1/2, -3/4. Można je zapisać jako ułamek. Liczby niewymierne to np. √2, π (pi), e (liczba Eulera). Ich rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe.

Na przykład: 3.14159... (π) jest liczbą niewymierną, ponieważ nie da się jej zapisać jako ułamek dwóch liczb całkowitych. Z kolei 0.5 jest liczbą wymierną, bo można ją zapisać jako 1/2.

Operacje algebraiczne na liczbach rzeczywistych są zdefiniowane i mają określone właściwości. Dodawanie i mnożenie są przemienne (a+b = b+a, a*b = b*a) i łączne ((a+b)+c = a+(b+c), (a*b)*c = a*(b*c)). Istnieje element neutralny dodawania (0) i mnożenia (1). Każda liczba ma element przeciwny i, z wyjątkiem zera, element odwrotny.

Zastosowanie liczb rzeczywistych jest wszechobecne. Wykorzystuje się je w fizyce do opisu wielkości fizycznych, w ekonomii do modelowania procesów finansowych, w informatyce do reprezentacji danych i wielu innych dziedzinach nauki i techniki.