Liczby I Działania Klasa 7 Test Online

Witajcie, drodzy uczniowie klasy 7! Zbliża się test online z Liczb i Działań? Bez obaw! Przygotowałem dla Was ten kompleksowy przewodnik, który pomoże Wam powtórzyć materiał, zrozumieć kluczowe zagadnienia i poczuć się pewnie przed egzaminem. Pamiętajcie, systematyczna nauka i pozytywne nastawienie to klucz do sukcesu!

I. Liczby Całkowite

Liczby całkowite to liczby naturalne (0, 1, 2, 3...), ich liczby przeciwne (-1, -2, -3...) oraz zero. Obejmują zatem wszystkie liczby bez części ułamkowych i dziesiętnych.

Działania na Liczbach Całkowitych

Powtórzmy sobie podstawowe działania:

Dodawanie:
- Dodawanie dwóch liczb o tych samych znakach: sumujemy wartości bezwzględne i wynik ma ten sam znak. (np. 3 + 5 = 8, -2 + (-4) = -6)
- Dodawanie dwóch liczb o różnych znakach: odejmujemy od większej wartości bezwzględnej mniejszą, a wynik ma znak liczby o większej wartości bezwzględnej. (np. -7 + 3 = -4, 5 + (-2) = 3)
Odejmowanie: Odejmowanie sprowadza się do dodawania liczby przeciwnej. a - b = a + (-b) (np. 5 - 3 = 5 + (-3) = 2, -2 - 4 = -2 + (-4) = -6)
Mnożenie i dzielenie:
- Dwa znaki identyczne dają wynik dodatni (+ * + = +, - * - = +, + / + = +, - / - = +)
- Dwa znaki różne dają wynik ujemny (+ * - = -, - * + = -, + / - = -, - / + = -)
- Pamiętaj o kolejności wykonywania działań!

Pamiętaj! Kolejność wykonywania działań: Najpierw nawiasy, potem potęgowanie i pierwiastkowanie, następnie mnożenie i dzielenie, a na końcu dodawanie i odejmowanie.

Ćwiczenia: Spróbuj rozwiązać kilka prostych przykładów, np. (-3) * 4 + (12 / (-2)) - 5.

II. Ułamki Zwykłe i Dziesiętne

Ułamki zwykłe to liczby postaci a/b, gdzie a to licznik, a b to mianownik (b ≠ 0). Ułamki dziesiętne to liczby, w których część ułamkową oddzielamy przecinkiem od części całkowitej.

Działania na Ułamkach

Dodawanie i odejmowanie ułamków:
- Ułamki zwykłe: sprowadzamy do wspólnego mianownika, a następnie dodajemy lub odejmujemy liczniki.
- Ułamki dziesiętne: zapisujemy ułamki tak, aby przecinki były jeden pod drugim, a następnie dodajemy lub odejmujemy jak liczby całkowite.
Mnożenie ułamków:
- Ułamki zwykłe: mnożymy licznik przez licznik i mianownik przez mianownik.
- Ułamki dziesiętne: mnożymy jak liczby całkowite, a następnie przesuwamy przecinek w wyniku o tyle miejsc w lewo, ile łącznie miejsc po przecinku mają mnożone liczby.
Dzielenie ułamków:
- Ułamki zwykłe: mnożymy przez odwrotność dzielnika (a/b : c/d = a/b * d/c).
- Ułamki dziesiętne: dzielimy jak liczby całkowite, pamiętając o przesunięciu przecinka w dzielniku i dzielnej o tyle samo miejsc w prawo, aby dzielnik był liczbą całkowitą.

Zamiana Ułamków

Ważna jest umiejętność zamiany ułamków zwykłych na dziesiętne i odwrotnie.

Ułamek zwykły na dziesiętny: dzielimy licznik przez mianownik.
Ułamek dziesiętny na zwykły: zapisujemy ułamek jako ułamek o mianowniku 10, 100, 1000 itd., a następnie upraszczamy, jeśli to możliwe. Na przykład, 0.25 = 25/100 = 1/4.

Ćwiczenia: Zamień 3/8 na ułamek dziesiętny i 0.75 na ułamek zwykły. Oblicz (1/2 + 0.25) * 4.

III. Potęgi i Pierwiastki

Potęga to skrócony zapis mnożenia tej samej liczby przez siebie. aⁿ oznacza, że a mnożymy przez siebie n razy. Pierwiastek to działanie odwrotne do potęgowania. √a oznacza liczbę, która podniesiona do kwadratu da nam a.

Własności Potęg

a⁰ = 1 (dla a ≠ 0)
a¹ = a
aⁿ * a^m = a^n+m
aⁿ / a^m = a^n-m
(aⁿ)^m = a^n*m
(a * b)ⁿ = aⁿ * bⁿ
(a / b)ⁿ = aⁿ / bⁿ

Ćwiczenia: Oblicz 2³, 5⁰, (3²)².

Pierwiastki Kwadratowe

Pierwiastek kwadratowy z liczby a (√a) to liczba, która podniesiona do kwadratu daje a.

√4 = 2 (bo 2² = 4)
√9 = 3 (bo 3² = 9)

Pamiętaj, że pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej nie istnieje (w zbiorze liczb rzeczywistych).

Ćwiczenia: Oblicz √16, √25, √81.

IV. Działania na Wyrażeniach Algebraicznych

Wyrażenia algebraiczne to wyrażenia, w których występują liczby, litery (zmienne) i znaki działań.

Upraszczanie Wyrażeń Algebraicznych

Upraszczanie wyrażeń algebraicznych polega na redukcji wyrazów podobnych oraz wykonywaniu działań.

Redukcja wyrazów podobnych: Sumujemy lub odejmujemy współczynniki przy tych samych literach z tymi samymi potęgami. (np. 3x + 2x = 5x, 4y - y = 3y)
Mnożenie i dzielenie wyrażeń algebraicznych: Stosujemy zasady mnożenia i dzielenia liczb oraz potęg. (np. 2x * 3y = 6xy, 6x² / 2x = 3x)
Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias: np. 4x + 8y = 4(x + 2y)

Ćwiczenia: Uprość wyrażenie: 2a + 3b - a + 5b, Wyłącz wspólny czynnik przed nawias: 6x - 9y.

V. Procenty

Procent to ułamek o mianowniku 100. 1% to 1/100.

Obliczanie Procentu Danej Liczby

Aby obliczyć procent danej liczby, zamieniamy procent na ułamek (zwykły lub dziesiętny) i mnożymy go przez daną liczbę.

Przykład: Oblicz 20% z 50. 20% = 0.20. 0.20 * 50 = 10.

Obliczanie, Jakim Procentem Jednej Liczby Jest Druga Liczba

Dzielimy jedną liczbę przez drugą i mnożymy wynik przez 100%.

Przykład: Jakim procentem liczby 80 jest liczba 20? (20/80) * 100% = 0.25 * 100% = 25%.

Obliczanie Liczby na Podstawie Danego Jej Procentu

Dzielimy daną liczbę przez procent (zamieniony na ułamek).

Przykład: 10% pewnej liczby to 5. Jaka to liczba? 5 / 0.10 = 50.

Ćwiczenia: Oblicz 15% z 120, Jakim procentem liczby 200 jest liczba 50? Znajdź liczbę, której 30% wynosi 9.

Podsumowanie

Gratulacje! Dotarliście do końca naszego przewodnika. Pamiętajcie o najważniejszych punktach:

Liczby całkowite: Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie liczb dodatnich i ujemnych.
Ułamki: Dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie ułamków zwykłych i dziesiętnych, zamiana ułamków.
Potęgi i Pierwiastki: Własności potęg, obliczanie pierwiastków kwadratowych.
Wyrażenia Algebraiczne: Upraszczanie wyrażeń, redukcja wyrazów podobnych.
Procenty: Obliczanie procentu danej liczby, jakim procentem jest jedna liczba drugiej.

Teraz czas na praktykę! Rozwiązujcie zadania z podręcznika, zeszytu ćwiczeń i testów online. Im więcej ćwiczycie, tym lepiej utrwalicie wiedzę i zwiększycie swoją pewność siebie. Życzę Wam powodzenia na teście!

Pamiętajcie! Nie stresujcie się! Podejdźcie do testu z pozytywnym nastawieniem i wiarą we własne możliwości. Jesteście dobrze przygotowani!