Liczba M Jest Sumą Odwrotności Dwóch Różnych Pierwiastków Równania

Okej, spróbujmy napisać artykuł odpowiadający na pytanie ucznia: "Liczba M jest sumą odwrotności dwóch różnych pierwiastków równania", z uwzględnieniem Twoich instrukcji.

Załóżmy, że mamy równanie kwadratowe i chcemy znaleźć liczbę M, która jest sumą odwrotności jego dwóch różnych pierwiastków. To brzmi trochę zawile, ale zaraz zobaczymy, że wcale takie nie jest.

Na początek, przypomnijmy sobie, jak wygląda ogólna postać równania kwadratowego:

ax² + bx + c = 0

gdzie a, b i c to jakieś liczby (a nie może być zerem, bo wtedy nie mielibyśmy równania kwadratowego!). Rozwiązania tego równania, czyli miejsca, w których wykres tej funkcji przecina oś x, nazywamy pierwiastkami. Oznaczmy je jako x₁ i x₂.

Naszym zadaniem jest znaleźć M, które wyraża się wzorem:

M = 1/x₁ + 1/x₂

Czyli musimy policzyć odwrotność pierwszego pierwiastka, odwrotność drugiego pierwiastka, a potem te dwie odwrotności dodać.

Co Robimy Dalej?

Teraz trochę sprytu! Zamiast od razu szukać wzorów na x₁ i x₂ (które, jak wiemy, mogą być trochę skomplikowane – wzory Viete'a tutaj będą naszym przyjacielem), spróbujmy uprościć wyrażenie na M. Sprowadźmy ułamki do wspólnego mianownika:

M = (x₂ + x₁) / (x₁ * x₂)

O! Wygląda znajomo, prawda? W liczniku mamy sumę pierwiastków, a w mianowniku iloczyn pierwiastków. A to są dokładnie te wartości, które możemy odczytać ze współczynników równania kwadratowego dzięki wzorom Viete'a!

Wzory Viete'a w Akcji

Przypomnijmy sobie wzory Viete'a dla równania kwadratowego ax² + bx + c = 0:

• Suma pierwiastków: x₁ + x₂ = -b/a
• Iloczyn pierwiastków: x₁ * x₂ = c/a

Podstawmy te wzory do naszego wyrażenia na M:

M = (-b/a) / (c/a)

Teraz możemy uprościć ułamek:

M = (-b/a) * (a/c)

a się skraca!

M = -b/c

I gotowe! Wyrażenie na M, czyli sumę odwrotności pierwiastków równania kwadratowego, to po prostu -b/c. Pamiętajmy, że to działa tylko wtedy, gdy pierwiastki istnieją i są różne.

Przykłady i Co Dalej

Zobaczmy na konkretnym przykładzie, jak to działa. Załóżmy, że mamy równanie:

2x² + 5x - 3 = 0

W tym przypadku a = 2, b = 5, a c = -3.

Zatem M = -b/c = -5 / (-3) = 5/3

To oznacza, że suma odwrotności pierwiastków tego równania wynosi 5/3. Możemy to sprawdzić, rozwiązując równanie kwadratowe i faktycznie obliczając pierwiastki i ich odwrotności, ale po co, skoro mamy prosty wzór?

Teraz ważna rzecz: Ten wzór działa tylko wtedy, gdy pierwiastki równania kwadratowego są różne. Jeśli delta (Δ) jest równa zero, mamy tylko jeden pierwiastek podwójny i nasz wzór nie ma sensu (bo dzielilibyśmy przez zero).

Co Jeśli Równanie Nie Jest "Uporządkowane"?

Czasami równanie kwadratowe nie jest podane w standardowej formie ax² + bx + c = 0. Może być np. zapisane jako:

3x² = 7x + 2

W takim przypadku musimy najpierw doprowadzić je do standardowej formy:

3x² - 7x - 2 = 0

Teraz możemy łatwo odczytać, że a = 3, b = -7, a c = -2. Wtedy M = -b/c = -(-7) / (-2) = -7/2.

Podsumowanie

Podsumowując, jeśli mamy równanie kwadratowe ax² + bx + c = 0 i chcemy znaleźć sumę odwrotności jego dwóch różnych pierwiastków (M), możemy skorzystać ze wzoru:

M = -b/c

Pamiętaj tylko, żeby najpierw upewnić się, że równanie jest zapisane w standardowej formie i że delta jest większa od zera, co gwarantuje istnienie dwóch różnych pierwiastków. Unikaj sytuacji, gdzie c = 0. Dzielenie przez zero to poważny błąd!

To wszystko! Mam nadzieję, że to jest jasne i zrozumiałe. Pamiętaj, że matematyka wymaga praktyki, więc spróbuj rozwiązać kilka podobnych zadań, żeby utrwalić sobie ten wzór. Powodzenia!